Най-важното от урока
Четириъгълник: Фигура с 4 страни и 4 ъгъла. Сборът на ъглите е винаги \(360^\circ\).
Успоредник: Частен случай на четириъгълник със специфични свойства:
Успоредник: Частен случай на четириъгълник със специфични свойства:
- Страни: Срещуположните са успоредни и равни (\(AB \parallel CD, AB=CD\)). Периметър: \(P=2(a+b)\).
- Ъгли: Срещуположните са равни (\(\sphericalangle A = \sphericalangle C\)), а съседните се допълват до \(180^\circ\) (\(\sphericalangle A + \sphericalangle B = 180^\circ\)).
- Диагонали: Взаимно се разполовяват (\(AO=OC, BO=OD\)).
Страните могат да бъдат съседни (имат общ връх, напр. AB и BC) или срещуположни (нямат общ връх, напр. AB и CD).
Периметърът (P) на четириъгълник е сборът от дължините на четирите му страни.
\[ P = AB + BC + CD + DA \]
Ако страните на четириъгълник са с дължини 4 cm, 6 cm, 7 cm и 5 cm, то периметърът му е:
\(P = 4 + 6 + 7 + 5 = 22 \text{ cm}\).
Намерете периметъра на четириъгълник със страни 8 cm, 10 cm, 8 cm и 10 cm.
\(P = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 \text{ cm}\).
Сборът от големините на ъглите във всеки изпъкнал четириъгълник е \(360^\circ\).
\[ \sphericalangle A + \sphericalangle B + \sphericalangle C + \sphericalangle D = 360^\circ \]
Ако в четириъгълник са дадени \(\sphericalangle A = 80^\circ\), \(\sphericalangle B = 100^\circ\) и \(\sphericalangle C = 110^\circ\), то четвъртият ъгъл \(\sphericalangle D\) се намира така:
\[ \sphericalangle D = 360^\circ - (80^\circ + 100^\circ + 110^\circ) = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ \]
Три от ъглите на четириъгълник са равни на \(90^\circ\). Намерете четвъртия ъгъл.
\(\sphericalangle D = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ\).
Свойство 1: В успоредник срещуположните страни са равни.
\[ AB = CD = a \]
\[ BC = DA = b \]
Периметърът на успоредник се изчислява по формулата:
\[ P = 2 \cdot (a + b) \]
Даден е успоредник със страни \(a = 12 \text{ cm}\) и \(b = 7 \text{ cm}\). Периметърът му е:
\(P = 2 \cdot (12 + 7) = 2 \cdot 19 = 38 \text{ cm}\).
Периметърът на успоредник е 50 cm. Едната му страна е 15 cm. Намерете дължината на другата страна.
\(50 = 2 \cdot (15 + b) \Rightarrow 25 = 15 + b \Rightarrow b = 10 \text{ cm}\).
Свойство 2: В успоредник срещуположните ъгли са равни.
\[ \sphericalangle A = \sphericalangle C \quad \text{и} \quad \sphericalangle B = \sphericalangle D \]
Свойство 3: В успоредник сборът на ъглите, прилежащи на една страна, е \(180^\circ\).
\[ \sphericalangle A + \sphericalangle B = 180^\circ \]
В успоредник ABCD е даден \(\sphericalangle A = 75^\circ\). Намерете останалите ъгли.
От Свойство 2: \(\sphericalangle C = \sphericalangle A = 75^\circ\).
От Свойство 3: \(\sphericalangle B = 180^\circ - \sphericalangle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
От Свойство 2: \(\sphericalangle D = \sphericalangle B = 105^\circ\).
От Свойство 2: \(\sphericalangle C = \sphericalangle A = 75^\circ\).
От Свойство 3: \(\sphericalangle B = 180^\circ - \sphericalangle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
От Свойство 2: \(\sphericalangle D = \sphericalangle B = 105^\circ\).
Сборът на два от ъглите на успоредник е \(160^\circ\). Намерете ъглите на успоредника.
Двата ъгъла трябва да са срещуположни (остри), защото ако са съседни, сборът им е 180°.
Следователно два от ъглите са по \(160^\circ / 2 = 80^\circ\).
Другите два ъгъла са по \(180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Ъглите са \(80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ\).
Диагоналите AC и BD в успоредник ABCD се пресичат в точка О. Ако \(AO = 6 \text{ cm}\) и \(BD = 14 \text{ cm}\), то:
• Целият диагонал \(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}\).
• Половината от другия диагонал е \(BO = OD = BD / 2 = 14 / 2 = 7 \text{ cm}\).
• Целият диагонал \(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}\).
• Половината от другия диагонал е \(BO = OD = BD / 2 = 14 / 2 = 7 \text{ cm}\).
В успоредник ABCD диагоналите се пресичат в т. О. Намерете дължините на AC и BD, ако \(OC = 5.5 \text{ cm}\) и \(OD = 4 \text{ cm}\).
\(AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 5.5 = 11 \text{ cm}\).
\(BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}\).
\(BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Единият ъгъл на успоредник е \(130^\circ\). Намерете останалите три ъгъла.
Срещуположният ъгъл също е \(130^\circ\).
Прилежащите ъгли са по \(180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(130^\circ, 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ\).
Прилежащите ъгли са по \(180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(130^\circ, 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ\).
Средна: Периметърът на успоредник е 64 cm. Едната му страна е с 8 cm по-дълга от другата. Намерете дължините на страните.
Нека едната страна е \(b\), а другата е \(a = b + 8\).
От формулата за периметър: \(P = 2(a+b)\).
\(64 = 2((b+8) + b)\)
\(32 = 2b + 8\)
\(24 = 2b \Rightarrow b = 12 \text{ cm}\).
\(a = 12 + 8 = 20 \text{ cm}\).
Отговор: Страните са 20 cm и 12 cm.
От формулата за периметър: \(P = 2(a+b)\).
\(64 = 2((b+8) + b)\)
\(32 = 2b + 8\)
\(24 = 2b \Rightarrow b = 12 \text{ cm}\).
\(a = 12 + 8 = 20 \text{ cm}\).
Отговор: Страните са 20 cm и 12 cm.
Трудна: В успоредника ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка О. Ако периметърът на \(\triangle ABO\) е 25 cm, а диагоналът \(AC = 14 \text{ cm}\), намерете дължината на страната AB.
Периметърът на \(\triangle ABO\) е \(P_{\triangle ABO} = AB + AO + BO\).
Знаем, че \(P_{\triangle ABO} = 25 \text{ cm}\).
Тъй като диагоналите се разполовяват, \(AO = AC / 2 = 14 / 2 = 7 \text{ cm}\).
Периметърът на \(\triangle CDO\) е равен на периметъра на \(\triangle ABO\), тъй като \(AB = CD\), \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Това не ни помага директно.
Задачата, така както е зададена, не може да бъде решена еднозначно, тъй като имаме \(25 = AB + 7 + BO\), което е \(AB + BO = 18\), но нямаме информация за BO или BD.
(Забележка към учителя/автора: Вероятно е пропусната информация, например за другия диагонал BD или за страната BC.)
Ако приемем, че има грешка в условието и е даден BD=12cm, то:
\(BO = BD / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ cm}\).
Тогава \(AB = P_{\triangle ABO} - AO - BO = 25 - 7 - 6 = 12 \text{ cm}\).
Отговор при коригирано условие: AB = 12 cm.
Знаем, че \(P_{\triangle ABO} = 25 \text{ cm}\).
Тъй като диагоналите се разполовяват, \(AO = AC / 2 = 14 / 2 = 7 \text{ cm}\).
Периметърът на \(\triangle CDO\) е равен на периметъра на \(\triangle ABO\), тъй като \(AB = CD\), \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Това не ни помага директно.
Задачата, така както е зададена, не може да бъде решена еднозначно, тъй като имаме \(25 = AB + 7 + BO\), което е \(AB + BO = 18\), но нямаме информация за BO или BD.
(Забележка към учителя/автора: Вероятно е пропусната информация, например за другия диагонал BD или за страната BC.)
Ако приемем, че има грешка в условието и е даден BD=12cm, то:
\(BO = BD / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ cm}\).
Тогава \(AB = P_{\triangle ABO} - AO - BO = 25 - 7 - 6 = 12 \text{ cm}\).
Отговор при коригирано условие: AB = 12 cm.
