Най-важното от урока
Формули на Виет за \(ax^2+bx+c=0\):
Сбор на корените: \(x_1+x_2 = -b/a\). Пример: за \(2x^2-10x+12=0\), сборът е \(-(-10)/2=5\).
Произведение на корените: \(x_1x_2 = c/a\). Пример: за \(2x^2-10x+12=0\), произведението е \(12/2=6\).
Съставяне на уравнение по корени \(x_1, x_2\):
Използва се видът \(x^2 - (\text{сбор})x + (\text{произведение}) = 0\). Пример: за корени 2 и 3, сборът е 5, произведението е 6, а уравнението е \(x^2-5x+6=0\).
Сбор на корените: \(x_1+x_2 = -b/a\). Пример: за \(2x^2-10x+12=0\), сборът е \(-(-10)/2=5\).
Произведение на корените: \(x_1x_2 = c/a\). Пример: за \(2x^2-10x+12=0\), произведението е \(12/2=6\).
Съставяне на уравнение по корени \(x_1, x_2\):
Използва се видът \(x^2 - (\text{сбор})x + (\text{произведение}) = 0\). Пример: за корени 2 и 3, сборът е 5, произведението е 6, а уравнението е \(x^2-5x+6=0\).
Ако квадратното уравнение \(ax^2+bx+c=0\) има реални корени \(x_1\) и \(x_2\) (т.е. дискриминантата \(D \ge 0\)), съществува връзка между корените и коефициентите \(a, b, c\).
Сума на корените: \[ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \]
Произведение на корените: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]
За уравнението \(2x^2 - 3x + 1 = 0\), имаме \(a=2, b=-3, c=1\).
Сумата на корените е \(x_1 + x_2 = - \frac{-3}{2} = \frac{3}{2}\).
Произведението на корените е \(x_1 x_2 = \frac{1}{2}\).
Сумата на корените е \(x_1 + x_2 = - \frac{-3}{2} = \frac{3}{2}\).
Произведението на корените е \(x_1 x_2 = \frac{1}{2}\).
Без да решавате уравнението \(3x^2 + 5x - 2 = 0\), намерете сбора и произведението на неговите корени.
Първо проверяваме дискриминантата: \(D = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 > 0\), следователно има реални корени.
Коефициентите са \(a=3, b=5, c=-2\).
Сбор: \(x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{3}\)
Произведение: \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{3}\)
Коефициентите са \(a=3, b=5, c=-2\).
Сбор: \(x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{3}\)
Произведение: \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{3}\)
Когато уравнението е в нормиран вид (коефициентът пред \(x^2\) е 1), формулите се опростяват.
Сума на корените: \[ x_1 + x_2 = -p \]
Произведение на корените: \[ x_1 \cdot x_2 = q \]
За уравнението \(x^2 - 7x + 10 = 0\), имаме \(p=-7, q=10\).
Сумата на корените е \(x_1 + x_2 = -(-7) = 7\).
Произведението на корените е \(x_1 x_2 = 10\). (Корените са 2 и 5).
Сумата на корените е \(x_1 + x_2 = -(-7) = 7\).
Произведението на корените е \(x_1 x_2 = 10\). (Корените са 2 и 5).
За уравнението \(x^2 + x - 12 = 0\), намерете сбора и произведението на корените му.
Тук \(p=1, q=-12\).
Сбор: \(x_1 + x_2 = -p = -1\)
Произведение: \(x_1 x_2 = q = -12\)
Сбор: \(x_1 + x_2 = -p = -1\)
Произведение: \(x_1 x_2 = q = -12\)
Ако са дадени две числа, можем да съставим квадратно уравнение, на което те са корени, като използваме нормирания вид \(x^2 + px + q = 0\).
За да съставим уравнението, намираме \(p = -(x_1 + x_2)\) и \(q = x_1 x_2\).
Да съставим квадратно уравнение с корени \(x_1=2\) и \(x_2 = -5\).
1. Намираме сумата: \(x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3\). Тогава \(p = -(-3) = 3\).
2. Намираме произведението: \(x_1 x_2 = 2 \cdot (-5) = -10\). Тогава \(q = -10\).
3. Заместваме в \(x^2 + px + q = 0\): \(x^2 + 3x - 10 = 0\).
1. Намираме сумата: \(x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3\). Тогава \(p = -(-3) = 3\).
2. Намираме произведението: \(x_1 x_2 = 2 \cdot (-5) = -10\). Тогава \(q = -10\).
3. Заместваме в \(x^2 + px + q = 0\): \(x^2 + 3x - 10 = 0\).
Съставете квадратно уравнение, чиито корени са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 6\).
\(p = -(x_1 + x_2) = -(-1+6) = -5\)
\(q = x_1 x_2 = (-1) \cdot 6 = -6\)
Уравнението е: \(x^2 - 5x - 6 = 0\).
\(q = x_1 x_2 = (-1) \cdot 6 = -6\)
Уравнението е: \(x^2 - 5x - 6 = 0\).
Формулите на Виет могат да се използват за пресмятане на стойността на различни изрази от корените, без да се намират самите корени.
Често се използва формулата за съкратено умножение: \((x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\), откъдето следва:
\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\]
\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\]
За уравнението \(x^2 - 4x + 1 = 0\), да пресметнем \(x_1^2 + x_2^2\).
1. От формулите на Виет: \(x_1+x_2=4\) и \(x_1x_2=1\).
2. Прилагаме тъждеството: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2 \cdot 1 = 16 - 2 = 14\).
1. От формулите на Виет: \(x_1+x_2=4\) и \(x_1x_2=1\).
2. Прилагаме тъждеството: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2 \cdot 1 = 16 - 2 = 14\).
За уравнението \(x^2 + 3x - 5 = 0\), пресметнете \(x_1^2 + x_2^2\).
От формулите на Виет: \(x_1+x_2=-3\) и \(x_1x_2=-5\).
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19\).
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19\).
Задачи за упражнение
Лесна: Без да решавате уравнението \(x^2 - 11x + 5 = 0\), намерете сбора и произведението на корените му.
Уравнението е нормирано с \(p=-11\) и \(q=5\).
Сбор: \(x_1+x_2 = -p = -(-11) = 11\).
Произведение: \(x_1x_2 = q = 5\).
Сбор: \(x_1+x_2 = -p = -(-11) = 11\).
Произведение: \(x_1x_2 = q = 5\).
Средна: Съставете квадратно уравнение с корени \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -2\).
1. Намираме \(p = -(x_1+x_2) = -(\frac{1}{3} - 2) = -(\frac{1-6}{3}) = -(-\frac{5}{3}) = \frac{5}{3}\).
2. Намираме \(q = x_1x_2 = \frac{1}{3} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}\).
3. Уравнението е \(x^2 + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0\). Можем да го умножим по 3, за да се освободим от знаменателите: \(3x^2 + 5x - 2 = 0\).
2. Намираме \(q = x_1x_2 = \frac{1}{3} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}\).
3. Уравнението е \(x^2 + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0\). Можем да го умножим по 3, за да се освободим от знаменателите: \(3x^2 + 5x - 2 = 0\).
Трудна: За уравнението \(2x^2 - 6x + 3 = 0\), без да намирате корените му, пресметнете стойността на израза \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\).
1. Първо привеждаме израза под общ знаменател: \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}\).
2. От формулите на Виет за \(2x^2 - 6x + 3 = 0\):
\(x_1+x_2 = - \frac{-6}{2} = 3\).
\(x_1x_2 = \frac{3}{2}\).
3. Заместваме намерените стойности в израза: \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2\).
Отговор: Стойността на израза е 2.
2. От формулите на Виет за \(2x^2 - 6x + 3 = 0\):
\(x_1+x_2 = - \frac{-6}{2} = 3\).
\(x_1x_2 = \frac{3}{2}\).
3. Заместваме намерените стойности в израза: \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2\).
Отговор: Стойността на израза е 2.
