Най-важното от урока
При еднакви знаменатели: Събираме/изваждаме числителите.
Пример: \( \frac{2x}{x+5} + \frac{1}{x+5} = \frac{2x+1}{x+5} \).
При различни знаменатели:
1. Разлагаме знаменателите на множители.
2. Намираме най-малко общо кратно (НОК).
3. Разширяваме дробите до НОК и извършваме действието.
Пример: \( \frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x(x-1)} - \frac{3x}{x(x-1)} = \frac{2x-2-3x}{x(x-1)} = \frac{-x-2}{x(x-1)} \).
Запомни: \( a - b = -(b-a) \). Това помага за уеднаквяване на знаменатели.
Пример: \( \frac{2x}{x+5} + \frac{1}{x+5} = \frac{2x+1}{x+5} \).
При различни знаменатели:
1. Разлагаме знаменателите на множители.
2. Намираме най-малко общо кратно (НОК).
3. Разширяваме дробите до НОК и извършваме действието.
Пример: \( \frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x(x-1)} - \frac{3x}{x(x-1)} = \frac{2x-2-3x}{x(x-1)} = \frac{-x-2}{x(x-1)} \).
Запомни: \( a - b = -(b-a) \). Това помага за уеднаквяване на знаменатели.
За да съберем или извадим рационални дроби с еднакви знаменатели, събираме или изваждаме техните числители, а знаменателят остава същият.
\[ \frac{u}{v} \pm \frac{w}{v} = \frac{u \pm w}{v}, \quad v \ne 0 \]
Където u, w и v са многочлени.
При изваждане внимавайте със знаците. Винаги поставяйте числителя на втората дроб в скоби, за да избегнете грешки.
\( \frac{3x+5}{2x-3} - \frac{x+4}{2x-3} = \frac{3x+5-(x+4)}{2x-3} = \frac{3x+5-x-4}{2x-3} = \frac{2x+1}{2x-3} \)
Извършете действието: \( \frac{5a+3}{a-1} + \frac{2a-1}{a-1} \)
\( \frac{5a+3+2a-1}{a-1} = \frac{7a+2}{a-1} \)
За да съберем или извадим дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги приведем към общ знаменател. Това става чрез намиране на Най-малкото общо кратно (НОК) на знаменателите.
Разложете всеки знаменател на множители.
Намерете НОК на знаменателите. Това е новият общ знаменател.
Разширете всяка дроб, като умножите числителя и знаменателя ѝ с липсващите множители от НОК.
Извършете събирането или изваждането на получените дроби с еднакви знаменатели.
Да извършим действието: \( \frac{2}{x^2-x} + \frac{1}{x^2-1} \)
Стъпка 1: Разлагаме знаменателите: \(x^2-x = x(x-1)\) и \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\).
Стъпка 2: НОК е \(x(x-1)(x+1)\).
Стъпка 3: Разширяваме дробите:
\( \frac{2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{1 \cdot x}{x(x-1)(x+1)} \)
Стъпка 4: Събираме числителите:
\( \frac{2x+2+x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x(x-1)(x+1)} \)
Стъпка 1: Разлагаме знаменателите: \(x^2-x = x(x-1)\) и \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\).
Стъпка 2: НОК е \(x(x-1)(x+1)\).
Стъпка 3: Разширяваме дробите:
\( \frac{2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} + \frac{1 \cdot x}{x(x-1)(x+1)} \)
Стъпка 4: Събираме числителите:
\( \frac{2x+2+x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x(x-1)(x+1)} \)
Приведете под общ знаменател дробите \( \frac{3}{a-2} \) и \( \frac{5}{a} \).
НОК на знаменателите \(a-2\) и \(a\) е \(a(a-2)\).
Разширяваме дробите: \( \frac{3a}{a(a-2)} \) и \( \frac{5(a-2)}{a(a-2)} \).
Разширяваме дробите: \( \frac{3a}{a(a-2)} \) и \( \frac{5(a-2)}{a(a-2)} \).
Понякога знаменателите са противоположни изрази, като \( (a-b) \) и \( (b-a) \). Можем да ги уеднаквим, като изнесем минус пред единия от тях.
\[ b - a = -(a - b) \]
Следователно:
\[ \frac{u}{b-a} = \frac{u}{-(a-b)} = -\frac{u}{a-b} \]
Да извършим действието: \( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{1-x} \)
Забелязваме, че \( 1-x = -(x-1) \).
\( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{-(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{1-1}{x-1} = 0 \)
Забелязваме, че \( 1-x = -(x-1) \).
\( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{-(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{1-1}{x-1} = 0 \)
Опростете израза: \( \frac{a^2}{a-5} + \frac{25}{5-a} \)
\( \frac{a^2}{a-5} + \frac{25}{-(a-5)} = \frac{a^2}{a-5} - \frac{25}{a-5} = \frac{a^2-25}{a-5} \)
Разлагаме числителя: \( \frac{(a-5)(a+5)}{a-5} = a+5 \)
Разлагаме числителя: \( \frac{(a-5)(a+5)}{a-5} = a+5 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Извършете изваждането: \( \frac{x+7}{x-2} - \frac{9}{x-2} \)
\( \frac{x+7-9}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} = 1 \)
Средна: Опростете израза: \( \frac{a}{a^2-9} + \frac{2}{a+3} \)
Разлагаме \(a^2-9 = (a-3)(a+3)\). НОК е \((a-3)(a+3)\).
\( \frac{a}{(a-3)(a+3)} + \frac{2(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+2a-6}{(a-3)(a+3)} = \frac{3a-6}{(a-3)(a+3)} \)
\( \frac{a}{(a-3)(a+3)} + \frac{2(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+2a-6}{(a-3)(a+3)} = \frac{3a-6}{(a-3)(a+3)} \)
Трудна: Извършете действията: \( \frac{x}{x-4} - \frac{x-1}{x+4} - \frac{4x}{16-x^2} \)
Първо преработваме последната дроб: \( \frac{4x}{16-x^2} = \frac{4x}{-(x^2-16)} = -\frac{4x}{x^2-16} \).
Изразът става: \( \frac{x}{x-4} - \frac{x-1}{x+4} + \frac{4x}{(x-4)(x+4)} \)
НОК е \((x-4)(x+4)\).
\( \frac{x(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{(x-1)(x-4)}{(x-4)(x+4)} + \frac{4x}{(x-4)(x+4)} \)
\( \frac{x^2+4x - (x^2-4x-x+4) + 4x}{(x-4)(x+4)} = \frac{x^2+4x - x^2+5x-4 + 4x}{(x-4)(x+4)} \)
\( = \frac{13x-4}{x^2-16} \)
Изразът става: \( \frac{x}{x-4} - \frac{x-1}{x+4} + \frac{4x}{(x-4)(x+4)} \)
НОК е \((x-4)(x+4)\).
\( \frac{x(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{(x-1)(x-4)}{(x-4)(x+4)} + \frac{4x}{(x-4)(x+4)} \)
\( \frac{x^2+4x - (x^2-4x-x+4) + 4x}{(x-4)(x+4)} = \frac{x^2+4x - x^2+5x-4 + 4x}{(x-4)(x+4)} \)
\( = \frac{13x-4}{x^2-16} \)
