Най-важното от урока
За да премахнеш \(\sqrt{a}\) от знаменател, умножи числителя и знаменателя по \(\sqrt{a}\). Пример: \( \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).
За да премахнеш \(a \pm \sqrt{b}\) или \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) от знаменател, умножи по спрегнатия му израз, за да използваш формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Пример: за \( \frac{1}{\sqrt{5}+2} \) умножаваме по \( \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \).
Преди действия, винаги опростявай корените, за да можеш да ги комбинираш. Пример: \( \sqrt{8}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2} \).
За да премахнеш \(a \pm \sqrt{b}\) или \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) от знаменател, умножи по спрегнатия му израз, за да използваш формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Пример: за \( \frac{1}{\sqrt{5}+2} \) умножаваме по \( \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \).
Преди действия, винаги опростявай корените, за да можеш да ги комбинираш. Пример: \( \sqrt{8}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2} \).
За премахване на корени при умножение често се използва формулата за съкратено умножение \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \). Изразите \(a-b\) и \(a+b\) се наричат спрегнати.
Прилагането на формулата позволява да се елиминира корен чрез повдигане на квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = x \).
Пресметнете \( (x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3}) \).
Прилагаме формулата с \(a=x\) и \(b=2\sqrt{3}\): \[ (x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3}) = x^2 - (2\sqrt{3})^2 = x^2 - (4 \cdot 3) = x^2 - 12 \]
Прилагаме формулата с \(a=x\) и \(b=2\sqrt{3}\): \[ (x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3}) = x^2 - (2\sqrt{3})^2 = x^2 - (4 \cdot 3) = x^2 - 12 \]
Извършете действията: \( (\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3) \).
Отговор: \( (\sqrt{7})^2 - 3^2 = 7 - 9 = -2 \).
Рационализиране е преобразувание, при което знаменателят на една дроб се освобождава от ирационални числа (корени).
За да рационализираме знаменател от вида \( \sqrt{a} \), умножаваме числителя и знаменателя на дроба със същия корен \( \sqrt{a} \).
Рационализирайте знаменателя на \( \frac{2}{\sqrt{5}} \).
\[ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
Рационализирайте знаменателя на дробата \( \frac{12}{\sqrt{3}} \).
Отговор: \( \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \).
Когато знаменателят е сбор или разлика, съдържащи корен (напр. \( a+\sqrt{b} \) или \( \sqrt{a}-\sqrt{b} \)), умножаваме числителя и знаменателя по неговия спрегнат израз.
- Спрегнатият израз на \( a+b \) е \( a-b \).
- Спрегнатият израз на \( a-b \) е \( a+b \).
Рационализирайте знаменателя на \( \frac{14}{\sqrt{11}+2} \). Спрегнатият израз на \( \sqrt{11}+2 \) е \( \sqrt{11}-2 \).
\[ \frac{14}{\sqrt{11}+2} = \frac{14(\sqrt{11}-2)}{(\sqrt{11}+2)(\sqrt{11}-2)} = \frac{14(\sqrt{11}-2)}{(\sqrt{11})^2 - 2^2} = \frac{14(\sqrt{11}-2)}{11-4} = \frac{14(\sqrt{11}-2)}{7} = 2(\sqrt{11}-2) \]
Рационализирайте знаменателя на \( \frac{8}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \).
Отговор: \( \frac{8(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{8(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{8(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = 4(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \).
Преди извършване на действия е полезно корените да се опростят, като се изнесе множител пред корена. Събират и изваждат се само корени с еднакви подкоренни величини.
\[ a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} \]
Опростете израза \( \sqrt{147}-\sqrt{27} \).
\[ \sqrt{147}-\sqrt{27} = \sqrt{49 \cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (7-3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Пресметнете: \( \sqrt{18} + \sqrt{50} \).
Отговор: \( \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Рационализирайте знаменателя на дробата \( \frac{5}{\sqrt{12}} \).
Първо опростяваме корена в знаменателя: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).
Сега рационализираме: \( \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \).
Сега рационализираме: \( \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \).
Средна: Рационализирайте знаменателя на дробата \( \frac{21}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}} \).
Умножаваме със спрегнатия израз \( 2\sqrt{3}+\sqrt{5} \):
\[ \frac{21(2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(2\sqrt{3}-\sqrt{5})(2\sqrt{3}+\sqrt{5})} = \frac{21(2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} \]
\[ = \frac{21(2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4 \cdot 3 - 5} = \frac{21(2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{12-5} = \frac{21(2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{7} = 3(2\sqrt{3}+\sqrt{5}) \]
Трудна: Извършете действията: \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} - \frac{2}{2-\sqrt{3}} \).
Рационализираме всяка от дробите поотделно.
Първа дроб: \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-1} = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \)
Втора дроб: \( \frac{2}{2-\sqrt{3}} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{4-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{1} = 4+2\sqrt{3} \)
Изваждаме резултатите: \[ \frac{3+\sqrt{3}}{2} - (4+2\sqrt{3}) = \frac{3+\sqrt{3}}{2} - \frac{2(4+2\sqrt{3})}{2} = \frac{3+\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3}}{2} = \frac{-5-3\sqrt{3}}{2} \]
Първа дроб: \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-1} = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \)
Втора дроб: \( \frac{2}{2-\sqrt{3}} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{4-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{1} = 4+2\sqrt{3} \)
Изваждаме резултатите: \[ \frac{3+\sqrt{3}}{2} - (4+2\sqrt{3}) = \frac{3+\sqrt{3}}{2} - \frac{2(4+2\sqrt{3})}{2} = \frac{3+\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3}}{2} = \frac{-5-3\sqrt{3}}{2} \]
