Най-важното от урока
Свойство (Необходимо условие): Ако четириъгълник е вписан в окръжност, сборът на срещуположните му ъгли е \(180^\circ\). Пример: Ако \(\angle A = 80^\circ\), то \(\angle C = 100^\circ\).
Критерий (Достатъчно условие): Ако сборът на срещуположните ъгли в четириъгълник е \(180^\circ\), той може да бъде вписан в окръжност. Пример: Всеки правоъгълник може да бъде вписан, защото \(90^\circ+90^\circ=180^\circ\).
Специални случаи: Вписан успоредник е правоъгълник. Вписан трапец е равнобедрен.
Критерий (Достатъчно условие): Ако сборът на срещуположните ъгли в четириъгълник е \(180^\circ\), той може да бъде вписан в окръжност. Пример: Всеки правоъгълник може да бъде вписан, защото \(90^\circ+90^\circ=180^\circ\).
Специални случаи: Вписан успоредник е правоъгълник. Вписан трапец е равнобедрен.
Четириъгълник е вписан в окръжност, ако всичките му четири върха лежат на окръжността.
Ако един четириъгълник е вписан в окръжност, сборът на всеки два негови срещуположни ъгъла е \(180^\circ\).
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
\( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
Във вписания четириъгълник ABCD е дадено, че \( \angle A = 75^\circ \). За да намерим срещуположния му ъгъл C, използваме свойството:
\[ \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]
Четириъгълникът MNPQ е вписан в окръжност. Ако \( \angle M = 60^\circ \) и \( \angle N = 100^\circ \), намерете мерките на \( \angle P \) и \( \angle Q \).
\( \angle P \) е срещуположен на \( \angle N \), следователно: \( \angle P = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
\( \angle Q \) е срещуположен на \( \angle M \), следователно: \( \angle Q = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
\( \angle Q \) е срещуположен на \( \angle M \), следователно: \( \angle Q = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Ако в един изпъкнал четириъгълник сборът на два срещуположни ъгъла е \(180^\circ\), то около него може да се опише окръжност.
Това е обратната теорема на свойството. Тя ни дава условие, при което можем да твърдим, че четириъгълник е вписан.
Може ли около четириъгълник с последователни ъгли \(80^\circ, 110^\circ, 100^\circ, 70^\circ\) да се опише окръжност?
Проверяваме сборовете на срещуположните ъгли:
Проверяваме сборовете на срещуположните ъгли:
- \(80^\circ + 100^\circ = 180^\circ\)
- \(110^\circ + 70^\circ = 180^\circ\)
Даден е четириъгълник ABCD с \( \angle A = 65^\circ \) и \( \angle C = 115^\circ \). Може ли да се опише окръжност около него?
Проверяваме сбора на срещуположните ъгли A и C:
\[ 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ \]
Тъй като сборът е \(180^\circ\), около четириъгълника може да се опише окръжност.
От свойството и критерия за вписан четириъгълник следват важни твърдения за някои познати фигури.
Всеки вписан в окръжност успоредник е правоъгълник.
Всеки вписан в окръжност трапец е равнобедрен.
Трапец е вписан в окръжност и единият му ъгъл е \(80^\circ\). Тъй като вписаният трапец е равнобедрен, ъглите при същата основа са равни. Следователно ъглите му са \(80^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 100^\circ\).
Успоредник е вписан в окръжност. Какви са ъглите му?
Тъй като вписаният успоредник е правоъгълник, всичките му ъгли са прави, т.е. по \(90^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност. Ако \( \angle BCD = 125^\circ \), намерете мярката на \( \angle DAB \).
Ъглите \( \angle DAB \) и \( \angle BCD \) са срещуположни. Техният сбор е \(180^\circ\).
\( \angle DAB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).
\( \angle DAB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).
Средна: Около трапеца ABCD (\(AB || CD\)) е описана окръжност. Ако \( \angle ADC = 110^\circ \), намерете останалите ъгли на трапеца.
1. Тъй като трапецът е вписан, той е равнобедрен. Следователно \( \angle BCD = \angle ADC = 110^\circ \).
2. От свойството на вписания четириъгълник:
\( \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
3. Тъй като трапецът е равнобедрен:
\( \angle BAD = \angle ABC = 70^\circ \).
Отговор: Ъглите са \(70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ\).
2. От свойството на вписания четириъгълник:
\( \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
3. Тъй като трапецът е равнобедрен:
\( \angle BAD = \angle ABC = 70^\circ \).
Отговор: Ъглите са \(70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ\).
Трудна: В четириъгълника ABCD е дадено, че \( \angle A : \angle B : \angle C = 2 : 3 : 7 \). Може ли около този четириъгълник да се опише окръжност?
Нека \( \angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 7x \).
За да може четириъгълникът да е вписан, трябва \( \angle A + \angle C = 180^\circ \).
\( 2x + 7x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \).
При \(x = 20^\circ\) получаваме: \( \angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 140^\circ \).
Сборът на всички ъгли в четириъгълник е \(360^\circ\). Намираме последния ъгъл:
\( \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (40^\circ + 60^\circ + 140^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \).
Сега проверяваме сбора на другата двойка срещуположни ъгли:
\( \angle B + \angle D = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ \).
Тъй като сборът и на двете двойки срещуположни ъгли е \(180^\circ\), около четириъгълника може да се опише окръжност.
За да може четириъгълникът да е вписан, трябва \( \angle A + \angle C = 180^\circ \).
\( 2x + 7x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \).
При \(x = 20^\circ\) получаваме: \( \angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 140^\circ \).
Сборът на всички ъгли в четириъгълник е \(360^\circ\). Намираме последния ъгъл:
\( \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (40^\circ + 60^\circ + 140^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \).
Сега проверяваме сбора на другата двойка срещуположни ъгли:
\( \angle B + \angle D = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ \).
Тъй като сборът и на двете двойки срещуположни ъгли е \(180^\circ\), около четириъгълника може да се опише окръжност.
