Най-важното от урока
Привеждане в нормален вид: Винаги опростявайте корените преди други действия. Пример: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\).
Събиране и изваждане: Само на подобни радикали. Пример: \(7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\).
Умножение: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Пример: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}\).
Формули: Формулите за съкратено умножение са много полезни. Пример: \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2=1\).
Събиране и изваждане: Само на подобни радикали. Пример: \(7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\).
Умножение: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Пример: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}\).
Формули: Формулите за съкратено умножение са много полезни. Пример: \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2=1\).
Подобни радикали са квадратни корени, които имат еднакви подкоренни величини (числата под корена).
Събираме и изваждаме само подобни радикали. Действието се извършва с коефициентите пред тях, а радикалът се запазва.
Изразът \(2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - \sqrt{3} - 8\sqrt{2}\) се опростява като се групират подобните радикали:
\[ (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (5\sqrt{2} - 8\sqrt{2}) = (2-1)\sqrt{3} + (5-8)\sqrt{2} = \sqrt{3} - 3\sqrt{2} \]
Опростете израза: \(12\sqrt{7} + 3\sqrt{11} - 5\sqrt{7} - \sqrt{11}\).
Отговор: \( (12-5)\sqrt{7} + (3-1)\sqrt{11} = 7\sqrt{7} + 2\sqrt{11} \)
Разлагаме числото под корена на множители, един от които е точен квадрат.
Изнасяме корена на точния квадрат пред радикала.
Тази стъпка е ключова, за да можем да събираме и изваждаме радикали, които първоначално не изглеждат подобни.
За да пресметнем \(\sqrt{8} + \sqrt{18}\), първо опростяваме всеки корен:
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
След това събираме: \[ 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
След това събираме: \[ 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]
Опростете израза: \(2\sqrt{75} - 5\sqrt{27}\).
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
Следователно: \(2 \cdot (5\sqrt{3}) - 5 \cdot (3\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
Следователно: \(2 \cdot (5\sqrt{3}) - 5 \cdot (3\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -5\sqrt{3}\)
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad \text{и} \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]
При умножение и деление се спазват правилата за разкриване на скоби.
Разкриване на скоби: \( \sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{5} + \sqrt{2}\sqrt{2} = \sqrt{10} + 2 \)
Деление: \( (\sqrt{10} - \sqrt{6}) : \sqrt{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)
Деление: \( (\sqrt{10} - \sqrt{6}) : \sqrt{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)
Извършете действията: \( \sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) \).
\(\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{5} = 2(\sqrt{3})^2 - \sqrt{15} = 2 \cdot 3 - \sqrt{15} = 6 - \sqrt{15}\)
Формулите за съкратено умножение важат и за изрази, съдържащи квадратни корени.
\( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)
\( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)
\( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)
Пресмятане на \((\sqrt{7} + \sqrt{3})^2\):
\[ (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21} \]
Пресмятане на \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\):
\[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \]
Опростете израза \((\sqrt{11} - 1)^2\).
\((\sqrt{11})^2 - 2 \cdot \sqrt{11} \cdot 1 + 1^2 = 11 - 2\sqrt{11} + 1 = 12 - 2\sqrt{11}\)
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \(5\sqrt{3} - \sqrt{12}\).
Първо опростяваме \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
След това заместваме: \(5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\).
След това заместваме: \(5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\).
Средна: Пресметнете \( (2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1) \).
Прилагаме формулата \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
\[ (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 1 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19 \]
Трудна: Докажете, че \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2}\).
Тъй като \(3 > \sqrt{2}\), изразът \(3-\sqrt{2}\) е положителен. Можем да повдигнем двете страни на квадрат.
Ще проверим дали \((3 - \sqrt{2})^2 = 11 - 6\sqrt{2}\). \[ (3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} \] Тъй като равенството е вярно, твърдението е доказано.
Ще проверим дали \((3 - \sqrt{2})^2 = 11 - 6\sqrt{2}\). \[ (3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} \] Тъй като равенството е вярно, твърдението е доказано.
