Най-важното от урока
Ключови формули за прав кръгов цилиндър с радиус \(r\) и височина \(h\):
- Лице на основата (кръг): \(B = \pi r^2\)
- Околна повърхнина: \(S_{ок} = 2\pi r h\) (обиколка по височина)
- Пълна повърхнина: \(S = 2\pi r h + 2\pi r^2\) (околна + 2 основи)
- Обем: \(V = \pi r^2 h\) (лице на основа по височина)
Прав кръгов цилиндър е тяло, образувано от две успоредни и еднакви кръгови основи и околна повърхнина, която е перпендикулярна на тях.
Основни елементи:
- Радиус (\(r\)): Радиусът на кръговите основи.
- Височина (\(h\)): Разстоянието между двете основи.
- Образуваща (\(l\)): Отсечка, свързваща съответни точки от окръжностите на двете основи. При прав кръгов цилиндър \(h = l\).
Една консервна кутия е пример за прав кръгов цилиндър. Радиусът й е радиусът на дъното, а височината е разстоянието от дъното до капака.
Прав кръгов цилиндър има радиус \(r=5\) cm и образуваща \(l=12\) cm. Колко е височината му?
При прав кръгов цилиндър височината е равна на образуващата. Следователно, \(h = l = 12\) cm.
Това е площта на извитата част на цилиндъра. Развивката на околната повърхнина е правоъгълник със страни, равни на височината на цилиндъра (\(h\)) и дължината на окръжността на основата (\(P=2\pi r\)).
\[ S_{ок} = 2\pi r h \]
където \(r\) е радиусът, а \(h\) е височината.
За цилиндър с радиус \(r=3\) cm и височина \(h=10\) cm, околната повърхнина е:
\[ S_{ок} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \text{ cm}^2 \]
Намерете околната повърхнина на цилиндър с диаметър на основата 10 cm и височина 8 cm.
Диаметърът е 10 cm, следователно радиусът \(r = 10/2 = 5\) cm.
\[ S_{ок} = 2\pi \cdot 5 \cdot 8 = 80\pi \text{ cm}^2 \]
Пълната повърхнина е сборът от околната повърхнина и лицата на двете кръгови основи (\(B = \pi r^2\)).
\[ S = S_{ок} + 2B = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r) \]
където \(r\) е радиусът, а \(h\) е височината.
За цилиндър с \(r=3\) cm и \(h=10\) cm, пълната повърхнина е:
\[ S = 2\pi \cdot 3 (10+3) = 6\pi \cdot 13 = 78\pi \text{ cm}^2 \]
Околната повърхнина на цилиндър е \(20\pi\) cm\(^2\), а радиусът му е \(2\) cm. Намерете пълната му повърхнина.
Лицето на едната основа е \(B = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\) cm\(^2\).
\[ S = S_{ок} + 2B = 20\pi + 2 \cdot 4\pi = 20\pi + 8\pi = 28\pi \text{ cm}^2 \]
Обемът на цилиндър се намира, като се умножи лицето на основата му (\(B\)) по височината (\(h\)).
\[ V = B \cdot h = \pi r^2 h \]
където \(r\) е радиусът, а \(h\) е височината.
За цилиндър с \(r=3\) cm и \(h=10\) cm, обемът е:
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi \text{ cm}^3 \]
Намерете обема на цилиндър с радиус 4 cm и височина 5 cm.
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi \text{ cm}^3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е цилиндър с радиус \(r=2\) cm и височина \(h=7\) cm. Намерете околната му повърхнина, пълната повърхнина и обема му.
\(S_{ок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 2 \cdot 7 = 28\pi\) cm\(^2\).
\(S = 2\pi r (h+r) = 2\pi \cdot 2 (7+2) = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\) cm\(^2\).
\(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 7 = \pi \cdot 4 \cdot 7 = 28\pi\) cm\(^3\).
\(S = 2\pi r (h+r) = 2\pi \cdot 2 (7+2) = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\) cm\(^2\).
\(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 7 = \pi \cdot 4 \cdot 7 = 28\pi\) cm\(^3\).
Средна: Околната повърхнина на прав кръгов цилиндър е \(80\pi\) cm\(^2\), а височината му е \(10\) cm. Намерете обема на цилиндъра.
1. От формулата за околна повърхнина намираме радиуса:
\(S_{ок} = 2\pi r h \Rightarrow 80\pi = 2\pi r \cdot 10 \Rightarrow 80\pi = 20\pi r \Rightarrow r = \frac{80\pi}{20\pi} = 4\) cm.
2. Намираме обема:
\(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi\) cm\(^3\).
\(S_{ок} = 2\pi r h \Rightarrow 80\pi = 2\pi r \cdot 10 \Rightarrow 80\pi = 20\pi r \Rightarrow r = \frac{80\pi}{20\pi} = 4\) cm.
2. Намираме обема:
\(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi\) cm\(^3\).
Трудна: Осното сечение на прав кръгов цилиндър е квадрат с лице \(64\) cm\(^2\). Намерете пълната повърхнина и обема на цилиндъра.
1. Осното сечение е правоъгълник със страни \(2r\) и \(h\). Тъй като е квадрат, \(2r = h\).
2. Лицето на квадрата е \(S_{сечение} = h \cdot (2r) = h \cdot h = h^2\).
\(h^2 = 64 \Rightarrow h = 8\) cm.
3. Тъй като \(2r=h\), то \(2r=8 \Rightarrow r=4\) cm.
4. Намираме пълната повърхнина:
\(S = 2\pi r (h+r) = 2\pi \cdot 4 (8+4) = 8\pi \cdot 12 = 96\pi\) cm\(^2\).
5. Намираме обема:
\(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi\) cm\(^3\).
2. Лицето на квадрата е \(S_{сечение} = h \cdot (2r) = h \cdot h = h^2\).
\(h^2 = 64 \Rightarrow h = 8\) cm.
3. Тъй като \(2r=h\), то \(2r=8 \Rightarrow r=4\) cm.
4. Намираме пълната повърхнина:
\(S = 2\pi r (h+r) = 2\pi \cdot 4 (8+4) = 8\pi \cdot 12 = 96\pi\) cm\(^2\).
5. Намираме обема:
\(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi\) cm\(^3\).
