12. Упражнение

а) \( x(\sqrt{x-1}-1) = 0 \)

Стъпка 1: Дефиниционно множество (ДМ)

Изискваме подкоренната величина да е неотрицателна: \( x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \).

Стъпка 2: Решаване

Произведението е 0, ако някой от множителите е 0: 1) \( x = 0 \). Тъй като \( 0 < 1 \), това не е в ДМ. 2) \( \sqrt{x-1}-1 = 0 \implies \sqrt{x-1} = 1 \). Повдигаме на квадрат: \( x-1 = 1 \implies x = 2 \). Проверка: \( 2(\sqrt{2-1}-1) = 2(1-1) = 0 \). Решението е \( x = 2 \).

б) \( x(\sqrt{x^2+x+4}-x-1) = 0 \)

Стъпка 1: ДМ

\( x^2+x+4 \ge 0 \). Дискриминантата \( D = 1^2 - 4 \cdot 4 = -15 < 0 \), коефициентът пред \( x^2 \) е 1 > 0, следователно изразът е винаги положителен. ДМ: \( x \in \mathbb{R} \).

Стъпка 2: Решаване

1) \( x = 0 \). Проверка: \( 0(\sqrt{0+0+4}-0-1) = 0(2-1) = 0 \). \( x = 0 \) е решение. 2) \( \sqrt{x^2+x+4} = x+1 \). При условие \( x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 \): \( x^2+x+4 = (x+1)^2 \implies x^2+x+4 = x^2+2x+1 \). След съкращаване на \( \cancel{x^2} \) от двете страни: \( x+4 = 2x+1 \implies x = 3 \). \( 3 \ge -1 \) е изпълнено. Корени: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

в) \( (x+1)(\sqrt{2-x}-\sqrt{x}) = 0 \)

Стъпка 1: ДМ

\( 2-x \ge 0 \) и \( x \ge 0 \implies 0 \le x \le 2 \).

Стъпка 2: Решаване

1) \( x+1 = 0 \implies x = -1 \). Не е в ДМ. 2) \( \sqrt{2-x} = \sqrt{x} \). Повдигаме на квадрат: \( 2-x = x \implies 2 = 2x \implies x = 1 \). Проверка: \( 1 \in [0, 2] \). Решението е \( x = 1 \).

г) \( (x^2-1)(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}) = 0 \)

Стъпка 1: ДМ

\( x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \) и \( 2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0,5 \). Сечение: \( x \ge 1 \).

Стъпка 2: Решаване

1) \( x^2-1 = 0 \implies x = 1 \) или \( x = -1 \). Само \( x = 1 \) е в ДМ. 2) \( \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1} = 0 \). Тъй като корените са винаги неотрицателни, сумата е нула само ако всяко е нула: \( \sqrt{x-1} = 0 \implies x = 1 \) и \( \sqrt{2x-1} = 0 \implies x = 0,5 \). Няма общо решение. Решението е \( x = 1 \).

а) \( D: x \ge 1; x=0 \notin D, \sqrt{x-1}=1 \to x=2 \implies x=2 \) б) \( D: x \in \mathbb{R}; x=0, \sqrt{x^2+x+4}=x+1 \to \cancel{x^2}+x+4=\cancel{x^2}+2x+1 \to x=3 \implies x_1=0, x_2=3 \) в) \( D:[0,2]; x=-1 \notin D, \sqrt{2-x}=\sqrt{x} \to 2-x=x \to x=1 \implies x=1 \) г) \( D: x \ge 1; x^2-1=0 \to x=1, x=-1 \notin D; \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1} \neq 0 \implies x=1 \)