56. Пирамида

1. Анализираме условието и чертаем тялото

Начертай правилна триъгълна пирамида $ABCD$ с връх $D$ и основа $\triangle ABC$. Позиционирай върха $A$ в долната лява част, върха $B$ в долната дясна част, а върха $C$ в горната централна част, така че $\triangle ABC$ да е равностранен в перспектива. Начертай основните ръбове $AB$ и $BC$ като плътни линии, а $CA$ като пунктирана линия. Отбележи дължината на основния ръб $AB = 3$. Намери центъра на основата $O$, който е пресечна точка на медианите на $\triangle ABC$. Свържи $O$ с върховете $A$, $B$ и $C$, и със средата $H$ на $BC$. Всички тези линии ($AO, BO, CO, OH$) да са пунктирани. От точка $O$ издигни вертикална пунктирана линия нагоре, перпендикулярна на равнината на основата $(ABC)$, и отбележи върха $D$. Отбележи височината $DO = 1$. Свържи върха $D$ с върховете $A$, $B$ и $C$. Околните ръбове $DA$ и $DB$ да са плътни линии, а $DC$ да е пунктирана линия. Построй апотемата на пирамидата $DH$, като $H$ е средата на $BC$. Линията $DH$ да е плътна. Отбележи правия ъгъл $\angle DOH = 90^\circ$ с квадратен символ при върха $O$. Отбележи правия ъгъл $\angle DHC = 90^\circ$ с квадратен символ при върха $H$, като ъгъл между $DH$ и $BC$. Нека пирамидата е $ABCD$ с връх $D$ и основа $\triangle ABC$. Тъй като пирамидата е правилна, основата ѝ е равностранен триъгълник, а върхът $D$ се проектира в центъра на описаната (и вписаната) около основата окръжност – точка $O$. Дадени са: Основен ръб $a = 3 \mathrm{~cm}$ Височина $h = DO = 1 \mathrm{~cm}$

2. Изчисляваме периметъра и лицето на основата

Основата е равностранен триъгълник със страна $a = 3 \mathrm{~cm}$. Използваме формулите за периметър и лице на равностранен триъгълник. Периметърът на основата е: \[ P = 3a = 3 \cdot 3 = 9 \mathrm{~cm} \] Лицето на основата е: \[ B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^2 \]

3. Намираме дължината на околния ръб

Разглеждаме правоъгълния $\triangle AOD$, където $DO = h$ е височината на пирамидата, $AD = l$ е околният ръб, а $AO = R$ е радиусът на описаната около основата окръжност. За равностранен триъгълник радиусът $R$ се намира по формулата: \[ R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \mathrm{~cm} \] Прилагаме Питагорова теорема за $\triangle AOD$ ($ \angle AOD = 90^\circ $): \[ AD^2 = AO^2 + DO^2 \] \[ l^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 \] \[ l^2 = 3 + 1 = 4 \] \[ l = \sqrt{4} = 2 \mathrm{~cm} \] Следователно всички околни ръбове са с дължина $2 \mathrm{~cm}$.

4. Намираме апотемата и лицето на околната повърхнина

За да намерим лицето на околната повърхнина ($S_{ок}$), ни е необходима апотемата на пирамидата $k$. Нека $DH \perp BC$, където $H$ е средата на $BC$. Тогава $DH = k$. Разглеждаме правоъгълния $\triangle DHC$ ($ \angle DHC = 90^\circ $). В него $DC = l = 2 \mathrm{~cm}$ и $HC = \frac{BC}{2} = \frac{3}{2} \mathrm{~cm}$. Прилагаме Питагорова теорема: \[ DC^2 = DH^2 + HC^2 \] \[ 2^2 = k^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 \] \[ 4 = k^2 + \frac{9}{4} \] \[ k^2 = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} = \frac{7}{4} \] \[ k = \frac{\sqrt{7}}{2} \mathrm{~cm} \] Лицето на околната повърхнина на правилна пирамида се намира по формулата: \[ S_{ок} = \frac{P \cdot k}{2} \] Заместваме получените стойности: \[ S_{ок} = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{9\sqrt{7}}{4} \mathrm{~cm}^2 \]

5. Изчисляваме обема на пирамидата

Обемът на пирамида се пресмята по формулата: \[ V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h \] Заместваме намереното лице на основата и дадената височина: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 1 \] Опростяваме израза, като съкратим: \[ V = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^3\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^3 \]

Дадено: Правилна триъгълна пирамида, $a = 3$, $h = 1$. $P = 3 \cdot 3 = 9 \mathrm{~cm}$ $B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^2$ Радиус на описаната окръжност: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ Околен ръб: $l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \mathrm{~cm}$ Апотема $k$ от $\triangle$ с хипотенуза $l$ и катет $a/2$: $k = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \mathrm{~cm}$ $S_{ок} = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{9\sqrt{7}}{4} \mathrm{~cm}^2$ $V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^3\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^3$