52. Прав Кръгов Конус

Начертайте прав кръгов конус. Върхът на конуса да бъде обозначен с \(M\), а центърът на кръговата му основа с \(O\). Позиционирайте точка \(A\) на окръжността на основата, така че отсечката \(OA\) да представлява радиуса на основата. Начертайте отсечките \(MO\), \(OA\) и \(MA\). Отбележете височината на конуса \(h = MO\), радиуса на основата \(r = OA\) и образуващата \(l = MA\). Основата на конуса да бъде изобразена като елипса, като задната ѝ част е с пунктирна линия. Ясно обозначете, че \(\triangle MOA\) е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха \(O\) (\(\angle MOA = 90^\circ\)). Поставете етикет за ъгъла \(\angle MAO\) (ъгъла между образуващата и радиуса) вътре в триъгълника, близо до върха \(A\). За решаването на задачите ще използваме основните формули за прав кръгов конус и Питагоровата теорема за правоъгълния \(\triangle MOA\): Околна повърхнина: \[ S = \pi r l \] Пълна повърхнина: \[ S_1 = S + B = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r) \] Връзка между образуваща, радиус и височина: \[ l^2 = r^2 + h^2 \]

а) \( l=10 \), \( h=8 \). Намерете \( S \);

Намиране на радиуса на основата

Прилагаме Питагоровата теорема, за да намерим неизвестния радиус \(r\): \[ r^2 = l^2 - h^2 \] Заместваме дадените стойности: \[ r^2 = 10^2 - 8^2 \] \[ r^2 = 100 - 64 \] \[ r^2 = 36 \] Коренуваме, за да получим дължината на радиуса (тъй като \(r > 0\)): \[ r = 6 \]

Изчисляване на околната повърхнина

Заместваме намерената стойност за \(r\) и дадената за \(l\) във формулата за околна повърхнина: \[ S = \pi \cdot 6 \cdot 10 \] \[ S = 60\pi \]

б) \( l=8 \), \( \angle(l, r)=60^{\circ} \). Намерете \( S \);

Намиране на радиуса на основата

Разглеждаме правоъгълния \(\triangle MOA\), където \(\angle MAO = 60^{\circ}\). Използваме тригонометричната функция косинус: \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \] Заместваме известните стойности: \[ \frac{1}{2} = \frac{r}{8} \] Изразяваме \(r\): \[ r = \cancel{8}^4 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} \] \[ r = 4 \]

Изчисляване на околната повърхнина

Заместваме във формулата за \(S\): \[ S = \pi \cdot 4 \cdot 8 \] \[ S = 32\pi \]

в) \( r=2 \), \( h=4 \). Намерете \( S_{1} \);

Намиране на образуващата

Прилагаме Питагоровата теорема, за да намерим \(l\): \[ l^2 = r^2 + h^2 \] \[ l^2 = 2^2 + 4^2 \] \[ l^2 = 4 + 16 \] \[ l^2 = 20 \] \[ l = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \]

Изчисляване на пълната повърхнина

Използваме формулата за \(S_1\) и заместваме известните стойности: \[ S_1 = \pi r(l + r) \] \[ S_1 = \pi \cdot 2 \cdot (2\sqrt{5} + 2) \] Изнасяме общ множител 2 от скобите: \[ S_1 = 4\pi(\sqrt{5} + 1) \]

г) \( S=14\pi \), \( l=7 \). Намерете \( h \).

Намиране на радиуса на основата

Използваме формулата за околна повърхнина, за да намерим \(r\): \[ S = \pi r l \] \[ 14\pi = \pi \cdot r \cdot 7 \] Разделяме двете страни на \(7\pi\): \[ r = \frac{14\cancel{\pi}}{7\cancel{\pi}} \] \[ r = \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{7}_1} \] \[ r = 2 \]

Намиране на височината

Прилагаме Питагоровата теорема: \[ h^2 = l^2 - r^2 \] Заместваме стойностите на \(l\) и \(r\): \[ h^2 = 7^2 - 2^2 \] \[ h^2 = 49 - 4 \] \[ h^2 = 45 \] \[ h = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \]

а)

\[ r = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 \Rightarrow S = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \]

б)

\[ r = 8 \cdot \cos(60^{\circ}) = \cancel{8}^4 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} = 4 \Rightarrow S = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi \]

в)

\[ l = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \Rightarrow S_1 = \pi \cdot 2(2\sqrt{5} + 2) = 4\pi(\sqrt{5} + 1) \]

г)

\[ 14\pi = \pi \cdot r \cdot 7 \Rightarrow r = 2 \Rightarrow h = \sqrt{7^2 - 2^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]