Най-важното от урока
Лице на равностранен \(\triangle\): \( S = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} \) (по дадена страна \(b\)).
Лице чрез описана окръжност: \( S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \) (по радиус \(R\) и ъгли).
Лице на правоъгълен \(\triangle\): \( S = m \cdot n \) (където \(m, n\) са отсечките от хипотенузата, образувани от допирната точка на вписаната окръжност).
Дължина на ъглополовяща: \( l_c = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b} \) (за ъгъл \(\gamma\) между страни \(a\) и \(b\)).
Специален случай: За ъглополовяща към хипотенуза в правоъгълен \(\triangle\): \( l_c = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b} \).
Внимание: При дадени две страни и ъгъл срещу една от тях (SSA), може да има две възможни решения за лицето.
Лице чрез описана окръжност: \( S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \) (по радиус \(R\) и ъгли).
Лице на правоъгълен \(\triangle\): \( S = m \cdot n \) (където \(m, n\) са отсечките от хипотенузата, образувани от допирната точка на вписаната окръжност).
Дължина на ъглополовяща: \( l_c = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b} \) (за ъгъл \(\gamma\) между страни \(a\) и \(b\)).
Специален случай: За ъглополовяща към хипотенуза в правоъгълен \(\triangle\): \( l_c = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b} \).
Внимание: При дадени две страни и ъгъл срещу една от тях (SSA), може да има две възможни решения за лицето.
Лицето на равностранен триъгълник може да се изчисли директно, ако е известна дължината на страната му.
\[ S = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} \]
където \(b\) е дължината на страната на триъгълника.
Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 6 cm.
\( S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \) cm2.
\( S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \) cm2.
Какво е лицето на равностранен триъгълник със страна 4 cm?
Отговор: \( S = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) cm2.
Лицето на триъгълник може да се изрази чрез радиуса на описаната около него окръжност и синусите на трите му ъгъла.
\[ S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \]
където \(R\) е радиусът на описаната окръжност, а \(\alpha, \beta, \gamma\) са ъглите на триъгълника.
В равнобедрен правоъгълен триъгълник (\(\alpha=45^\circ, \beta=45^\circ, \gamma=90^\circ\)) радиусът на описаната окръжност е \(R=10\) cm. Лицето е:
\( S = 2 \cdot 10^2 \sin 45^\circ \sin 45^\circ \sin 90^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = 200 \cdot \frac{2}{4} = 100 \) cm2.
\( S = 2 \cdot 10^2 \sin 45^\circ \sin 45^\circ \sin 90^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = 200 \cdot \frac{2}{4} = 100 \) cm2.
Намерете лицето на триъгълник с \(R=4\) cm и ъгли \(\alpha=30^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=90^\circ\).
Отговор: \( S = 2 \cdot 4^2 \sin 30^\circ \sin 60^\circ \sin 90^\circ = 32 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 8\sqrt{3} \) cm2.
Ако допирните точки на вписаната окръжност разделят страните на отсечки, лицето може да се изчисли чрез тях.
За правоъгълен триъгълник с \(\gamma=90^\circ\), ако допирната точка на вписаната окръжност разделя хипотенузата на отсечки \(m\) и \(n\), лицето е:
\[ S = m \cdot n \]
В правоъгълен триъгълник, допирната точка на вписаната окръжност разделя хипотенузата на отсечки с дължини \(m=2\) cm и \(n=7\) cm. Лицето на триъгълника е \(S = 2 \cdot 7 = 14\) cm2.
Допирната точка на вписаната окръжност разделя хипотенузата на правоъгълен триъгълник на отсечки 3 cm и 4 cm. Какво е лицето му?
Отговор: \( S = 3 \cdot 4 = 12 \) cm2.
Дължината на ъглополовящата \(l_c\) на ъгъл \(\gamma\), сключен между страните \(a\) и \(b\), се намира по следната формула.
\[ l_c = \frac{2ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a+b} \]
Ако триъгълникът е правоъгълен (\(\gamma = 90^\circ\)), формулата за ъглополовящата към хипотенузата се опростява до:
\[ l_c = \frac{ab \sqrt{2}}{a+b} \]
Намерете ъглополовящата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник с катети \(a=6\) cm и \(b=8\) cm.
\( l_c = \frac{6 \cdot 8 \sqrt{2}}{6+8} = \frac{48\sqrt{2}}{14} = \frac{24\sqrt{2}}{7} \) cm.
\( l_c = \frac{6 \cdot 8 \sqrt{2}}{6+8} = \frac{48\sqrt{2}}{14} = \frac{24\sqrt{2}}{7} \) cm.
В триъгълник са дадени \(a=4\) cm, \(b=8\) cm и \(\gamma=120^\circ\). Намерете дължината на ъглополовящата \(l_c\).
Отговор: \( l_c = \frac{2 \cdot 4 \cdot 8 \cos \frac{120^\circ}{2}}{4+8} = \frac{64 \cos 60^\circ}{12} = \frac{64 \cdot \frac{1}{2}}{12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \) cm.
Когато са дадени две страни и ъгъл, който не е между тях (напр. \(b, c, \gamma\)), е възможно да има две, едно или нито едно решение за третата страна. Това може да доведе до две различни стойности за лицето.
Приложете косинусова теорема спрямо дадения ъгъл, за да съставите квадратно уравнение за неизвестната страна.
Решете уравнението. Всеки положителен корен е възможна дължина на третата страна.
За всяка намерена дължина на третата страна, изчислете лицето на съответния триъгълник по формулата \(S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\).
За \(\triangle ABC\) са дадени \(b=8\), \(c=7\) и \(\gamma=60^\circ\).
1. Косинусова теорема: \(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma \Rightarrow 7^2 = a^2+8^2-2 \cdot a \cdot 8 \cdot \cos60^\circ\).
2. Получава се уравнението \(a^2 - 8a + 15 = 0\), с корени \(a_1=3\) и \(a_2=5\).
3. Има два възможни триъгълника с две различни лица:
\(S_1 = \frac{1}{2} a_1 b \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}\) cm2.
\(S_2 = \frac{1}{2} a_2 b \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin 60^\circ = 10\sqrt{3}\) cm2.
1. Косинусова теорема: \(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma \Rightarrow 7^2 = a^2+8^2-2 \cdot a \cdot 8 \cdot \cos60^\circ\).
2. Получава се уравнението \(a^2 - 8a + 15 = 0\), с корени \(a_1=3\) и \(a_2=5\).
3. Има два възможни триъгълника с две различни лица:
\(S_1 = \frac{1}{2} a_1 b \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}\) cm2.
\(S_2 = \frac{1}{2} a_2 b \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin 60^\circ = 10\sqrt{3}\) cm2.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 8 cm.
\( S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \) cm2.
Средна: В правоъгълен триъгълник с катети \(a=5\) cm и \(b=12\) cm, намерете дължината на ъглополовящата към хипотенузата.
Използваме формулата за ъглополовяща в правоъгълен триъгълник:
\( l_c = \frac{ab \sqrt{2}}{a+b} = \frac{5 \cdot 12 \sqrt{2}}{5+12} = \frac{60\sqrt{2}}{17} \) cm.
\( l_c = \frac{ab \sqrt{2}}{a+b} = \frac{5 \cdot 12 \sqrt{2}}{5+12} = \frac{60\sqrt{2}}{17} \) cm.
Трудна: Лицето на един триъгълник е \(15\sqrt{3}\) cm2. Дължините на две от страните му са 6 cm и 10 cm. Намерете възможните стойности за ъгъла между тези две страни.
Използваме формулата \(S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\).
\( 15\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin \gamma \)
\( 15\sqrt{3} = 30 \sin \gamma \)
\( \sin \gamma = \frac{15\sqrt{3}}{30} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
В интервала \((0^\circ, 180^\circ)\) има два ъгъла с такъв синус: \(\gamma_1 = 60^\circ\) и \(\gamma_2 = 120^\circ\).
Отговор: Ъгълът може да бъде \(60^\circ\) или \(120^\circ\).
\( 15\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin \gamma \)
\( 15\sqrt{3} = 30 \sin \gamma \)
\( \sin \gamma = \frac{15\sqrt{3}}{30} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
В интервала \((0^\circ, 180^\circ)\) има два ъгъла с такъв синус: \(\gamma_1 = 60^\circ\) и \(\gamma_2 = 120^\circ\).
Отговор: Ъгълът може да бъде \(60^\circ\) или \(120^\circ\).
