68. Ирационални Уравнения

а) \( \sqrt{x-1} = x-7 \)

Стъпка 1: Съставяне на еквивалентна система

Уравнението от вида \( \sqrt{f(x)} = g(x) \) е еквивалентно на системата: \[ \begin{cases} x-1 = (x-7)^2 \\ x-7 \ge 0 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаване на уравнението-следствие

Разкриваме скобите и преобразуваме в квадратно уравнение: \[ x-1 = x^2 - 14x + 49 \] \[ x^2 - 15x + 50 = 0 \] Намираме корените чрез формулата за квадратно уравнение: \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25 \] \[ x_1 = \frac{15 + 5}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{15 - 5}{2} = 5 \]

Стъпка 3: Проверка спрямо условието за еквивалентност

Условието е \( x \ge 7 \): - За \( x_1 = 10 \): \( 10 \ge 7 \) (вярно) - За \( x_2 = 5 \): \( 5 \ge 7 \) (невярно, чужд корен) Следователно единственият корен е \( x = 10 \).

б) \( \sqrt{2x-3} = x-3 \)

Стъпка 1: Съставяне на еквивалентна система

\[ \begin{cases} 2x-3 = (x-3)^2 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаване на квадратното уравнение

\[ 2x-3 = x^2 - 6x + 9 \] \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \] \[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]

Стъпка 3: Проверка спрямо условието

Условието е \( x \ge 3 \): - За \( x_1 = 6 \): \( 6 \ge 3 \) (вярно) - За \( x_2 = 2 \): \( 2 \ge 3 \) (невярно, чужд корен) Следователно решението е \( x = 6 \).

в) \( \sqrt{8-7x} = 3x-4 \)

Стъпка 1: Съставяне на еквивалентна система

\[ \begin{cases} 8-7x = (3x-4)^2 \\ 3x-4 \ge 0 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаване на квадратното уравнение

\[ 8-7x = 9x^2 - 24x + 16 \] \[ 9x^2 - 17x + 8 = 0 \] \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 289 - 288 = 1 \] \[ x_1 = \frac{17 + 1}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1 \] \[ x_2 = \frac{17 - 1}{2 \cdot 9} = \frac{\cancel{16}^8}{\cancel{18}_9} = \frac{8}{9} \]

Стъпка 3: Проверка спрямо условието

Условието е \( 3x \ge 4 \iff x \ge \frac{4}{3} \approx 1,33 \): - За \( x_1 = 1 \): \( 1 \ge \frac{4}{3} \) (невярно) - За \( x_2 = \frac{8}{9} \): \( \frac{8}{9} \ge \frac{4}{3} \) (невярно) Следователно уравнението няма реални корени.

г) \( 2\sqrt{2x-3} = x+2 \)

Стъпка 1: Съставяне на еквивалентна система

Повдигаме двете страни на квадрат при неотрицателна дясна страна: \[ \begin{cases} (2\sqrt{2x-3})^2 = (x+2)^2 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 4(2x-3) = x^2 + 4x + 4 \\ x \ge -2 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаване на квадратното уравнение

\[ 8x - 12 = x^2 + 4x + 4 \] \[ x^2 - 4x + 16 = 0 \] Пресмятаме дискриминантата: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0 \] Тъй като дискриминантата е отрицателна, квадратното уравнение няма реални корени. Следователно даденото уравнение няма решение.

д) \( \sqrt{x^2+2x+3} = 2x-1 \)

Стъпка 1: Съставяне на еквивалентна система

\[ \begin{cases} x^2+2x+3 = (2x-1)^2 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаване на квадратното уравнение

\[ x^2 + 2x + 3 = 4x^2 - 4x + 1 \] \[ 3x^2 - 6x - 2 = 0 \] Използваме съкратената формула за дискриминантата при \( k = -3 \): \[ D' = (-3)^2 - 3 \cdot (-2) = 9 + 6 = 15 \] \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3} \]

Стъпка 3: Проверка спрямо условието

Условието е \( x \ge \frac{1}{2} = 0,5 \): - За \( x_1 = \frac{3+\sqrt{15}}{3} \approx 1 + 1,29 = 2,29 \ge 0,5 \) (вярно) - За \( x_2 = \frac{3-\sqrt{15}}{3} \approx 1 - 1,29 = -0,29 \ge 0,5 \) (невярно) Следователно единственото решение е \( x = \frac{3+\sqrt{15}}{3} \).

а)

\( x-1=(x-7)^2, x \ge 7 \implies x^2-15x+50=0 \implies x_1=10, x_2=5 \implies x=10 \)

б)

\( 2x-3=(x-3)^2, x \ge 3 \implies x^2-8x+12=0 \implies x_1=6, x_2=2 \implies x=6 \)

в)

\( 8-7x=(3x-4)^2, x \ge \frac{4}{3} \implies 9x^2-17x+8=0 \implies x_1=1, x_2=\frac{8}{9} \implies x \in \emptyset \)

г)

\( 4(2x-3)=(x+2)^2, x \ge -2 \implies x^2-4x+16=0 \implies D=-48<0 \implies x \in \emptyset \)

д)

\( x^2+2x+3=(2x-1)^2, x \ge \frac{1}{2} \implies 3x^2-6x-2=0 \implies x=\frac{3+\sqrt{15}}{3} \)