36. Таблица За Стойностите На Тригонометричните Функции От Някои Специални Ъгли В Интервала [0°; 180°]

1. Анализ на условието и чертеж

Разглеждаме правоъгълен триъгълник \( \triangle ABC \) с прав ъгъл при върха \( C \) (\( \angle C = 90^\circ \)). По условие хипотенузата е два пъти по-голяма от един от катетите. Нека означим хипотенузата с \( c \), а катета срещу върха \( A \) с \( a \). Тогава \( c = 2a \). Търсим косинусите на външните ъгли на триъгълника, които ще означим с \( \alpha' \), \( \beta' \) и \( \gamma' \).
Начертайте правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при върха C. Поставете върха C в долния ляв ъгъл на чертежа. Върхът B да е разположен хоризонтално надясно от C, а върхът A да е разположен вертикално нагоре от C. Катетът BC (с дължина 'a') да е по хоризонталната ос, а катетът AC (с дължина 'b') да е по вертикалната ос. Хипотенузата AB (с дължина 'c') свързва върховете A и B. Уверете се, че катетът BC ('a') е видимо два пъти по-къс от хипотенузата AB ('c'). Катетът AC ('b') е по-дългият катет, като съотношението между дължините на страните BC : AC : AB е 1 : \(\sqrt{3}\) : 2. Това означава, че вътрешният ъгъл при върха A е \(\alpha = 30^\circ\), а вътрешният ъгъл при върха B е \(\beta = 60^\circ\). Вътрешният ъгъл при върха C е \(\gamma = 90^\circ\). За да отбележите външните ъгли: 1. Продължете страната AC надолу, след върха C. Отбележете външния ъгъл при върха C с \(\gamma'\), разположен между продължената линия AC (от A през C надолу) и страната CB. 2. Продължете страната CB надясно, след върха B. Отбележете външния ъгъл при върха B с \(\beta'\), разположен между продължената линия CB (от C през B надясно) и хипотенузата BA. 3. Продължете хипотенузата BA нагоре-наляво, след върха A. Отбележете външния ъгъл при върха A с \(\alpha'\), разположен между продължената линия BA (от B през A нагоре-наляво) и страната AC. Отбележете вътрешните ъгли с \(\alpha\) при върха A, \(\beta\) при върха B и \(\gamma = 90^\circ\) при върха C. Отбележете дължините на страните BC с 'a', AC с 'b' и AB с 'c'.

2. Намиране на вътрешните ъгли на триъгълника

Ще използваме дефиницията за синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, която гласи, че синусът е равен на отношението на срещулежащия катет към хипотенузата. За ъгъл \( \alpha \) (при върха \( A \)) имаме: \[ \sin\alpha = \frac{a}{c} \] Заместваме даденото по условие отношение \( c = 2a \): \[ \sin\alpha = \frac{\cancel{a}^1}{2\cancel{a}_1} = \frac{1}{2} \] Тъй като \( \alpha \) е остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, ъгълът, чийто синус е \( \frac{1}{2} \), е \( 30^\circ \). Следователно: \[ \alpha = 30^\circ \] Сумата от острите ъгли в правоъгълен триъгълник е \( 90^\circ \). Намираме другия остър ъгъл \( \beta \) (при върха \( B \)): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Третият ъгъл е правият ъгъл: \[ \gamma = 90^\circ \]

3. Изчисляване на косинусите на външните ъгли

Външният ъгъл на триъгълник и съответният му вътрешен ъгъл са съседни, следователно техният сбор е \( 180^\circ \). Тоест външният ъгъл е равен на \( 180^\circ \) минус вътрешния. Ще използваме основното тригонометрично тъждество: \[ \cos(180^\circ - x) = -\cos x \] Намираме косинуса на външния ъгъл при върха \( A \) (\( \alpha' \)): \[ \cos\alpha' = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \] Заместваме \( \alpha = 30^\circ \): \[ \cos\alpha' = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Намираме косинуса на външния ъгъл при върха \( B \) (\( \beta' \)): \[ \cos\beta' = \cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta \] Заместваме \( \beta = 60^\circ \): \[ \cos\beta' = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \] Намираме косинуса на външния ъгъл при върха \( C \) (\( \gamma' \)): \[ \cos\gamma' = \cos(180^\circ - \gamma) = -\cos\gamma \] Заместваме \( \gamma = 90^\circ \): \[ \cos\gamma' = -\cos 90^\circ = 0 \]

\( \triangle ABC, \angle C = 90^\circ, c = 2a \Rightarrow \sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ, \beta = 60^\circ \) \( \cos\alpha' = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos\beta' = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \) \( \cos\gamma' = \cos(180^\circ - 90^\circ) = -\cos 90^\circ = 0 \)