Най-важното от урока
Изчисляването на обеми и повърхнини на комбинирани ротационни тела изисква внимателно събиране или изваждане на съответните части (\( V = V_1 \pm V_2 \), \( S = S_{\text{външна}} + S_{\text{вътрешна}} \)).
Всяко равнинно сечение на сфера е кръг. Ключът към решаването на задачи със сечения е изграждането на правоъгълен триъгълник между радиуса на сферата (\(R\)), радиуса на сечението (\(r\)) и разстоянието до равнината (\(d\)), където \( R^2 = r^2 + d^2 \).
Когато сечението е определено от тригер от точки върху сферата, радиусът на сечението съвпада с радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
Всяко равнинно сечение на сфера е кръг. Ключът към решаването на задачи със сечения е изграждането на правоъгълен триъгълник между радиуса на сферата (\(R\)), радиуса на сечението (\(r\)) и разстоянието до равнината (\(d\)), където \( R^2 = r^2 + d^2 \).
Когато сечението е определено от тригер от точки върху сферата, радиусът на сечението съвпада с радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
Сложните ротационни тела често се получават чрез изрязване (издълбаване) на едно тяло от друго, например сфера (или полусфера) от цилиндър.
При пресмятане на елементите на такива тела важат следните принципи:
- Обемът на полученото тяло е разлика от обема на първоначалното тяло и обема на изрязаната част.
- Повърхнината на полученото тяло е сбор от повърхнините на всички видими (външни и вътрешни) стени на новото тяло.
Основни формули, които се използват:
Цилиндър: \( V = \pi r^2 h \), \( S = 2\pi r (r + h) \)
Кълбо (Сфера): \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \), \( S = 4\pi r^2 \)
Цилиндър: \( V = \pi r^2 h \), \( S = 2\pi r (r + h) \)
Кълбо (Сфера): \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \), \( S = 4\pi r^2 \)
Ако от цилиндър с радиус \( R \) и височина \( H = 2R \) бъде напълно издълбано вписаното в него кълбо (с радиус \( R \)):
Обемът на тялото ще бъде: \( V_T = V_{\text{цил}} - V_{\text{кълбо}} = \pi R^2 (2R) - \frac{4}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3 \).
Лицето на повърхнината ще бъде сбор от пълната повърхнина на цилиндъра и повърхнината на сферата (която вече е вътрешна стена): \( S_T = S_{\text{цил}} + S_{\text{сфера}} = 2\pi R(R+2R) + 4\pi R^2 = 6\pi R^2 + 4\pi R^2 = 10\pi R^2 \).
Обемът на тялото ще бъде: \( V_T = V_{\text{цил}} - V_{\text{кълбо}} = \pi R^2 (2R) - \frac{4}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3 \).
Лицето на повърхнината ще бъде сбор от пълната повърхнина на цилиндъра и повърхнината на сферата (която вече е вътрешна стена): \( S_T = S_{\text{цил}} + S_{\text{сфера}} = 2\pi R(R+2R) + 4\pi R^2 = 6\pi R^2 + 4\pi R^2 = 10\pi R^2 \).
Всяко сечение на сфера с равнина е окръжност (а на кълбо – кръг).
Връзката между радиуса на сферата \( R \), радиуса на сечението \( r \) и разстоянието от центъра на сферата до равнината на сечението \( d \) се дава от Питагоровата теорема за \(\triangle OO'A\):
\[ R^2 = r^2 + d^2 \]
Ако равнината минава през центъра на сферата (\( d = 0 \)), сечението се нарича голяма окръжност и нейният радиус е равен на радиуса на сферата (\( r = R \)).
При решаване на задачи, в които сечението е перпендикулярно на даден диаметър, често се използва метричната зависимост в правоъгълен триъгълник. Ако диаметърът \( AB \) е разделен от центъра на сечението \( H \) на отсечки \( AH \) и \( BH \), то радиусът на сечението \( r \) (който се явява височина към хипотенузата) се намира по формулата: \( r^2 = AH \cdot BH \).
Три точки, лежащи върху сфера, определят единствена равнина. Сечението на сферата с тази равнина е окръжност, която е описана около триъгълника, образуван от трите точки.
Определят се елементите на триъгълника, образуван от трите точки (страни, ъгли, лице), използвайки Косинусова теорема, Синусова теорема или други геометрични зависимости.
Намира се радиусът на сечението \( R_1 \), който е равен на радиуса на описаната около триъгълника окръжност. Често се използва Синусовата теорема: \( R_1 = \frac{a}{2 \sin \alpha} \).
Разстоянието от центъра на сферата до равнината на сечението се пресмята по формулата \( d = \sqrt{R^2 - R_1^2} \).
Ако външна за сферата точка \( A \) е на равни разстояния от всички точки на дадено сечение, то ортогоналната проекция на \( A \) върху равнината на сечението съвпада с неговия център \( O' \). Следователно правата \( AO' \) е перпендикулярна на равнината на сечението.
За да се намери радиусът на сечението в такъв случай, се разглежда триъгълникът, образуван от външната точка \( A \), центъра на сферата \( O \) и произволна точка \( B \) от контура на сечението.
Тъй като са известни разстоянията \( AO \), \( AB \) и радиусът на сферата \( OB \), може да се намери лицето на \(\triangle AOB\) (напр. по Херонова формула). Радиусът на сечението \( r = O'B \) се явява височина в този триъгълник към страната \( AO \).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е сфера с радиус \( R = 13 \) см. Равнина пресича сферата на разстояние \( 5 \) см от центъра ѝ. Намерете лицето на кръга, получен от сечението.
Разстоянието от центъра до равнината е \( d = 5 \) см.
Използваме формулата \( R^2 = r^2 + d^2 \), за да намерим радиуса на сечението \( r \):
\( 13^2 = r^2 + 5^2 \Rightarrow 169 = r^2 + 25 \Rightarrow r^2 = 144 \Rightarrow r = 12 \) см.
Лицето на кръга е \( S = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \) см\(^2\).
Използваме формулата \( R^2 = r^2 + d^2 \), за да намерим радиуса на сечението \( r \):
\( 13^2 = r^2 + 5^2 \Rightarrow 169 = r^2 + 25 \Rightarrow r^2 = 144 \Rightarrow r = 12 \) см.
Лицето на кръга е \( S = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \) см\(^2\).
Средна: В кълбо с радиус \( R = 10 \) см е прекарано сечение. Триъгълник с дължини на страните \( 6 \) см, \( 8 \) см и \( 10 \) см е вписан в окръжността на сечението. Намерете разстоянието от центъра на кълбото до равнината на сечението.
Триъгълникът със страни 6, 8 и 10 е правоъгълен, защото \( 6^2 + 8^2 = 10^2 \) (\( 36 + 64 = 100 \)).
Радиусът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност е половината от хипотенузата.
Следователно радиусът на сечението е \( r = \frac{10}{2} = 5 \) см.
Разстоянието от центъра до равнината намираме по Питагоровата теорема: \( d = \sqrt{R^2 - r^2} \).
\( d = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.
Радиусът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност е половината от хипотенузата.
Следователно радиусът на сечението е \( r = \frac{10}{2} = 5 \) см.
Разстоянието от центъра до равнината намираме по Питагоровата теорема: \( d = \sqrt{R^2 - r^2} \).
\( d = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.
Трудна: От цилиндър с радиус на основата \( r = 4 \) см и височина \( h = 5 \) см е изрязана полусфера, чиято основа съвпада с горната основа на цилиндъра. Намерете обема и повърхнината на полученото ротационно тяло.
Радиусът на изрязаната полусфера е равен на радиуса на цилиндъра: \( r = 4 \) см.
Обем:
\( V = V_{\text{цил}} - \frac{1}{2}V_{\text{сфера}} = \pi r^2 h - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi \cdot 16 \cdot 5 - \frac{2}{3}\pi \cdot 64 = 80\pi - \frac{128\pi}{3} = \frac{240\pi - 128\pi}{3} = \frac{112\pi}{3} \) см\(^3\).
Повърхнина:
Повърхнината на тялото се състои от: долната основа на цилиндъра, околната повърхнина на цилиндъра и повърхнината на издълбаната полусфера (вътрешната вдлъбнатина).
\( S = S_{\text{долна основа}} + S_{\text{околна}} + S_{\text{полусфера}} = \pi r^2 + 2\pi r h + \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = \pi r^2 + 2\pi r h + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi r h \).
\( S = 3\pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 5 = 48\pi + 40\pi = 88\pi \) см\(^2\).
Обем:
\( V = V_{\text{цил}} - \frac{1}{2}V_{\text{сфера}} = \pi r^2 h - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi \cdot 16 \cdot 5 - \frac{2}{3}\pi \cdot 64 = 80\pi - \frac{128\pi}{3} = \frac{240\pi - 128\pi}{3} = \frac{112\pi}{3} \) см\(^3\).
Повърхнина:
Повърхнината на тялото се състои от: долната основа на цилиндъра, околната повърхнина на цилиндъра и повърхнината на издълбаната полусфера (вътрешната вдлъбнатина).
\( S = S_{\text{долна основа}} + S_{\text{околна}} + S_{\text{полусфера}} = \pi r^2 + 2\pi r h + \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = \pi r^2 + 2\pi r h + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi r h \).
\( S = 3\pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 5 = 48\pi + 40\pi = 88\pi \) см\(^2\).
