1. В куба $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ докажете, че $ BD \perp (ACC_1A_1) $ и $ BD \perp A_1C $.

Начертайте куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с всички ръбове с еднаква дължина (например 3 единици) в 3D аксонометрична перспектива, ориентирана надясно, така че предната, горната и дясната му страни да са видими. Точка $A$ да бъде долният ляв преден връх на куба, а върховете на долната основа $ABCD$ да са подредени в посока обратна на часовниковата стрелка (A, B, C, D). Всички върхове на куба (A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1) да бъдат ясно етикетирани. Начертайте всички ръбове на куба със следните ст...

Взаимно Положение на Права и Равнина. Перпендикулярност на Права и Равнина. Упражнение

Най-важното от урока

Успоредност на права и равнина: За да докажете, че права $a$ е успоредна на равнина $\alpha$, е достатъчно да намерите права $b$ в равнината $\alpha$, която е успоредна на $a$.
Пример: В куб, $A_1B_1 || AB$ и $AB \subset (ABCD) \Rightarrow A_1B_1 || (ABCD)$.
Перпендикулярност на права и равнина: За да докажете, че права $a$ е перпендикулярна на равнина $\alpha$, е достатъчно да намерите две пресичащи се прави $b$ и $c$ в равнината $\alpha$, които са перпендикулярни на $a$.
Пример: В куб, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$. Тъй като $AB$ и $AD$ се пресичат, следва че $AA_1 \perp (ABCD)$.

Една права $a$ и една равнина $\alpha$ могат да имат три взаимни положения:

Правата лежи в равнината: Всички точки от правата са и точки от равнината ($a \subset \alpha$).
Правата пробожда (пресича) равнината: Правата и равнината имат точно една обща точка ($a \cap \alpha = A$).
Правата е успоредна на равнината: Правата и равнината нямат общи точки ($a || \alpha$).

$Три отделни 3D диаграми, подредени една до друга. Всяка диаграма изобразява равнина $\alpha$ като хоризонтално разположен, леко прозрачен сив успоредник и права $a$. 1. **Първа диаграма (Права в равнината):** Права $a$ е изобразена изцяло лежаща вътре в равнина $\alpha$, като се простира през нея и е изцяло видима. Равнината е означена с $\alpha$, а правата с $a$. 2. **Втора диаграма (Права пресича равнината):** Права $a$ е изобразена да пресича равнина $\alpha$. Частта от правата, която минава зад равнината, е пунктирана. Точката на пресичане е ясно обозначена с малка точка и е етикетирана като $A$. Равнината е означена с $\alpha$, а правата с $a$. 3. **Трета диаграма (Права успоредна на равнината):** Права $a$ е изобразена изцяло над равнина $\alpha$, без да я докосва, и е успоредна на нея. Правата е изцяло видима. Равнината е означена с $\alpha$, а правата с $a$.$

Даден е куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какво е взаимното положение на правата, определена от диагонала $AC$, и равнината на горната основа $(A_1B_1C_1D_1)$?

Отговор: Правата $AC$ е успоредна на равнината $(A_1B_1C_1D_1)$, тъй като нямат общи точки.

Теорема-признак: Ако права ($a$), която не лежи в дадена равнина ($\alpha$), е успоредна на някоя права ($b$) от равнината, то правата е успоредна на равнината ($a || \alpha$).

$Равнина $\alpha$ е изобразена като полупрозрачен успоредник в перспектива, разположен в долната част на чертежа. В равнината $\alpha$ е начертана права $b$, която лежи изцяло в нея. Над равнината $\alpha$ е изобразена права $a$, която е извън равнината и е визуално успоредна на права $b$. Правата $a$ и равнината $\alpha$ нямат общи точки, което визуално подкрепя заключението, че $a$ е успоредна на цялата равнина $\alpha$.$

В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, правата $A_1B_1$ е успоредна на равнината на основата $(ABCD)$.
Доказателство:

Правата $A_1B_1$ не лежи в равнината $(ABCD)$.
Правата $A_1B_1$ е успоредна на правата $AB$ (като срещуположни страни на правоъгълника $ABB_1A_1$).
Правата $AB$ лежи в равнината $(ABCD)$.
Следователно, по теоремата-признак, $A_1B_1 || (ABCD)$.

В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, докажете, че диагоналът $B_1D_1$ е успореден на равнината $(ABCD)$.

Правата $B_1D_1$ е успоредна на правата $BD$ (диагонали на успоредни стени в куб). Правата $BD$ лежи в равнината $(ABCD)$. Следователно $B_1D_1 || (ABCD)$.

Права и равнина са перпендикулярни, ако правата е перпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината. Записваме $a \perp \alpha$.

Теорема-признак: Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на самата равнина.

$Триизмерна диаграма, показваща равнина $\alpha$, изобразена в перспектива като полупрозрачен сив успоредник. Права $a$ пробожда равнината $\alpha$ в централна точка $O$. В равнината $\alpha$, през точка $O$, минават две пресичащи се прави $b$ и $c$, които не са успоредни една на друга. Ясно са отбелязани правите ъгли (квадратни символи) между права $a$ и права $b$ в точка $O$, както и между права $a$ и права $c$ в точка $O$. Всички елементи $a$, $b$, $c$, $O$ и $\alpha$ са ясно етикетирани. Права $a$ трябва да е визуално перпендикулярна на равнината $\alpha$.$

В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ръбът $AA_1$ е перпендикулярен на равнината на основата $(ABCD)$.
Доказателство:

Ръбът $AA_1$ е перпендикулярен на ръба $AB$ ($\angle A_1AB = 90^\circ$).
Ръбът $AA_1$ е перпендикулярен на ръба $AD$ ($\angle A_1AD = 90^\circ$).
Правите $AB$ и $AD$ се пресичат в точка $A$ и лежат в равнината $(ABCD)$.
Следователно, по теоремата-признак, $AA_1 \perp (ABCD)$.

В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, докажете, че ръбът $BC$ е перпендикулярен на равнината на стената $(ABB_1A_1)$.

Правата $BC$ е перпендикулярна на $AB$ (съседни страни в квадрат). Правата $BC$ е перпендикулярна и на $BB_1$ (тъй като $BB_1 \perp (ABCD)$, то $BB_1$ е перпендикулярна на всяка права в тази равнина, вкл. $BC$). Правите $AB$ и $BB_1$ се пресичат в точка B и лежат в равнината $(ABB_1A_1)$. Следователно $BC \perp (ABB_1A_1)$.

Задачи за упражнение

Лесна: Даден е куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определете взаимното положение на правата $C_1C$ и равнината $(ABD)$.

Правата $C_1C$ е успоредна на $A_1A$. От своя страна $A_1A$ е перпендикулярна на равнината $(ABCD)$, в която лежи $(ABD)$. Тъй като $A_1A \perp (ABD)$ и $C_1C || A_1A$, то и $C_1C \perp (ABD)$. Правата е перпендикулярна на равнината. (Друг подход: $C_1C || A_1A$. Правата $A_1A$ пробожда равнината $(ABD)$ в точка А. Следователно и $C_1C$ пробожда равнината. Решението зависи от това дали се разглежда равнината на триъгълника или равнината на основата, но ако е $(ABD)$, тя съвпада с $(ABCD)$).
По-просто решение: Равнината, определена от триъгълника $ABD$, е същата като равнината на основата $(ABCD)$. Правата $C_1C$ пробожда тази равнина в точка $C$.

Средна: В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, докажете, че диагоналът на основата $BD$ е перпендикулярен на равнината, определена от диагоналното сечение $(ACC_1A_1)$.

За да докажем $BD \perp (ACC_1A_1)$, трябва да намерим две пресичащи се прави в тази равнина, които са перпендикулярни на $BD$.

$BD \perp AC$, защото диагоналите в квадрата $ABCD$ са перпендикулярни. Правата $AC$ лежи в равнината $(ACC_1A_1)$.
$BD \perp AA_1$, защото ръбът $AA_1$ е перпендикулярен на цялата равнина на основата $(ABCD)$ и следователно на всяка права в нея, включително $BD$. Правата $AA_1$ лежи в равнината $(ACC_1A_1)$.
Правите $AC$ и $AA_1$ се пресичат в точка $A$.

Тъй като $BD$ е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината $(ACC_1A_1)$, то $BD \perp (ACC_1A_1)$.

Трудна: Дадена е правилна четириъгълна пирамида $ABCDV$ с връх $V$ и височина $VO$, където $O$ е пресечната точка на диагоналите на основата $ABCD$. Докажете, че правата $AC$ е перпендикулярна на равнината $(BDV)$.

Правилна четириъгълна пирамида с връх V и квадратна основа ABCD. Основата ABCD е разположена в хоризонтална равнина, като точка A е в предния ляв ъгъл, B в предния десен, C в задния десен и D в задния ляв, движейки се в посока обратна на часовниковата стрелка. Страните на основата AB и BC са видими (плътни линии), а CD и DA са невидими (пунктирани линии). Диагоналите на основата AC и BD се пресичат в точка O. Височината на пирамидата VO е спусната от върха V към центъра на основата O и е изобразена с плътна линия. Ребрата VA, VB и VD са видими (плътни линии), а реброто VC е невидимо (пунктирана линия). Равнината (BDV) е показана чрез полупрозрачно оцветяване на триъгълника BDV. Диагоналът AC е показан като отделна, удебелена плътна линия. Всички върхове (A, B, C, D, V) и точката O са ясно етикетирани.

За да докажем, че $AC \perp (BDV)$, трябва да покажем, че $AC$ е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината $(BDV)$.

Тъй като пирамидата е правилна, основата $ABCD$ е квадрат. В квадрата диагоналите са перпендикулярни, следователно $AC \perp BD$. Правата $BD$ лежи в равнината $(BDV)$.
$VO$ е височина на пирамидата, което означава, че $VO$ е перпендикулярна на равнината на основата $(ABCD)$. Следователно $VO$ е перпендикулярна на всяка права в тази равнина, включително и на $AC$. Правата $VO$ лежи в равнината $(BDV)$.
Правите $BD$ и $VO$ се пресичат в точка $O$.

Тъй като правата $AC$ е перпендикулярна на две пресичащи се прави ($BD$ и $VO$) от равнината $(BDV)$, то тя е перпендикулярна на цялата равнина.

52. Взаимно Положение на Права и Равнина. Перпендикулярност на Права и Равнина. Упражнение

Избери решение на задача:

Доказване, че правата \( BD \) е перпендикулярна на равнината \( (ACC_1A_1) \)

Доказване, че правата \( BD \) е перпендикулярна на правата \( A_1C \)

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Доказване, че правата \( BD \) е перпендикулярна на равнината \( (ACC_1A_1) \)

Доказване, че правата \( BD \) е перпендикулярна на правата \( A_1C \)

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: