Най-важното от урока
Модулни неравенства:
Метод на интервалите: Намерете всички корени, подредете ги на ос, определете знаците в интервалите и изберете нужните.
Системи неравенства: Решете всяко неравенство поотделно и намерете сечението (общата част) на решенията им.
- \(|f(x)| < c \Leftrightarrow -c < f(x) < c\)
- \(|f(x)| > c \Leftrightarrow f(x) < -c\) или \(f(x) > c\)
Метод на интервалите: Намерете всички корени, подредете ги на ос, определете знаците в интервалите и изберете нужните.
Системи неравенства: Решете всяко неравенство поотделно и намерете сечението (общата част) на решенията им.
Решаването на модулни неравенства се свежда до два основни случая в зависимост от знака на неравенството.
Правило 1: Неравенството \(|ax+b| < c\) (където \(c>0\)) е еквивалентно на двойното неравенство:
\[-c < ax+b < c\]
Неравенството \(|3x+5| < 8\) се решава така:
\(-8 < 3x+5 < 8\)
\(-13 < 3x < 3\)
\(-\frac{13}{3} < x < 1\), т.е. \(x \in \left(-\frac{13}{3}, 1\right)\).
\(-8 < 3x+5 < 8\)
\(-13 < 3x < 3\)
\(-\frac{13}{3} < x < 1\), т.е. \(x \in \left(-\frac{13}{3}, 1\right)\).
Правило 2: Неравенството \(|ax+b| > c\) (където \(c>0\)) е еквивалентно на две отделни неравенства:
\[ax+b < -c \quad \text{или} \quad ax+b > c\]
Неравенството \(|4-5x| > 6\) се решава така:
\(4-5x < -6\) или \(4-5x > 6\)
\(-5x < -10 \Rightarrow x > 2\)
\(-5x > 2 \Rightarrow x < -\frac{2}{5}\)
Решението е обединението на интервалите: \(x \in \left(-\infty, -\frac{2}{5}\right) \cup (2, \infty)\).
\(4-5x < -6\) или \(4-5x > 6\)
\(-5x < -10 \Rightarrow x > 2\)
\(-5x > 2 \Rightarrow x < -\frac{2}{5}\)
Решението е обединението на интервалите: \(x \in \left(-\infty, -\frac{2}{5}\right) \cup (2, \infty)\).
Решете неравенството \(|x - 4| \leq 5\).
Прилагаме правило 1:
\(-5 \leq x - 4 \leq 5\)
\(-5 + 4 \leq x \leq 5 + 4\)
\(-1 \leq x \leq 9\)
Отговор: \(x \in [-1, 9]\).
\(-5 \leq x - 4 \leq 5\)
\(-5 + 4 \leq x \leq 5 + 4\)
\(-1 \leq x \leq 9\)
Отговор: \(x \in [-1, 9]\).
Решението на квадратно неравенство \(ax^2+bx+c \lessgtr 0\) зависи от знака на коефициента \(a\) и корените \(x_1, x_2\) на уравнението \(ax^2+bx+c=0\).
Намерете корените \(x_1\) и \(x_2\) на уравнението \(ax^2+bx+c=0\) чрез дискриминантата \(D = b^2-4ac\).
Определете интервалите въз основа на знака на \(a\).
- Ако \(a > 0\) (параболата е обърната нагоре):
- \(ax^2+bx+c > 0\) има решение \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)\) (извън корените).
- \(ax^2+bx+c < 0\) има решение \(x \in (x_1, x_2)\) (между корените).
- Ако \(a < 0\) (параболата е обърната надолу):
- \(ax^2+bx+c > 0\) има решение \(x \in (x_1, x_2)\) (между корените).
- \(ax^2+bx+c < 0\) има решение \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)\) (извън корените).
Решете \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\).
1. Намираме корените на \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Те са \(x_1=2\) и \(x_2=3\).
2. Старшият коефициент е \(a=1 > 0\).
3. Търсим кога тричленът е \(\leq 0\), което при \(a>0\) е между корените.
Решение: \(x \in [2, 3]\).
1. Намираме корените на \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Те са \(x_1=2\) и \(x_2=3\).
2. Старшият коефициент е \(a=1 > 0\).
3. Търсим кога тричленът е \(\leq 0\), което при \(a>0\) е между корените.
Решение: \(x \in [2, 3]\).
Решете неравенството \(x^2 - 3x - 10 > 0\).
1. Корените на \(x^2 - 3x - 10 = 0\) са \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 5\).
2. Старшият коефициент е \(a=1 > 0\).
3. Търсим кога изразът е \(>0\), което при \(a>0\) е извън корените.
Отговор: \(x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)\).
2. Старшият коефициент е \(a=1 > 0\).
3. Търсим кога изразът е \(>0\), което при \(a>0\) е извън корените.
Отговор: \(x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)\).
Този метод се използва за решаване на по-сложни неравенства, които са представени като произведение или частно на множители.
Прехвърлете всичко от едната страна на неравенството, така че от другата да остане 0.
Разложете числителя и знаменателя на възможно най-прости множители.
Намерете корените на всеки множител и ги нанесете подредени върху числова ос. Те разделят оста на интервали.
Определете знака в най-десния интервал. Обикновено той е "+". След това редувайте знаците ("-", "+", "-") при преминаване през всеки корен.
Запишете решението, като изберете интервалите, които отговарят на знака на неравенството. Внимавайте с корените на знаменателя - те никога не са част от решението!
Решете \(\frac{x-2}{x+1} \geq 0\).
1. Коренът на числителя е \(x=2\). Коренът на знаменателя е \(x=-1\).
2. Нанасяме -1 и 2 на числовата ос.
3. В интервала \((2, \infty)\) изразът е положителен. Редуваме знаците:
\( (-\infty, -1) \quad (+) \quad (-1, 2] \quad (-) \quad [2, \infty) \quad (+) \)
4. Търсим \(\geq 0\). Решението е \(x \in (-\infty, -1) \cup [2, \infty)\). Забележете, че -1 е изключено, защото е корен на знаменателя.
1. Коренът на числителя е \(x=2\). Коренът на знаменателя е \(x=-1\).
2. Нанасяме -1 и 2 на числовата ос.
3. В интервала \((2, \infty)\) изразът е положителен. Редуваме знаците:
\( (-\infty, -1) \quad (+) \quad (-1, 2] \quad (-) \quad [2, \infty) \quad (+) \)
4. Търсим \(\geq 0\). Решението е \(x \in (-\infty, -1) \cup [2, \infty)\). Забележете, че -1 е изключено, защото е корен на знаменателя.
Решете неравенството \((x+3)(x-5) < 0\).
1. Корените са \(x=-3\) и \(x=5\).
2. Нанасяме ги на числовата ос.
3. Знаците в интервалите са: \( (-\infty, -3) \quad (+) \quad (-3, 5) \quad (-) \quad (5, \infty) \quad (+) \)
4. Търсим кога изразът е \(< 0\).
Отговор: \(x \in (-3, 5)\).
2. Нанасяме ги на числовата ос.
3. Знаците в интервалите са: \( (-\infty, -3) \quad (+) \quad (-3, 5) \quad (-) \quad (5, \infty) \quad (+) \)
4. Търсим кога изразът е \(< 0\).
Отговор: \(x \in (-3, 5)\).
За да се реши система от неравенства, се решава всяко неравенство поотделно, след което се намира сечението (общата част) на техните решения.
Решете системата \( \begin{cases} 3x > -12 \\ x \leq 7 \end{cases} \).
1. Решението на първото неравенство е \(x > -4\), т.е. \(x \in (-4, \infty)\).
2. Решението на второто неравенство е \(x \leq 7\), т.е. \(x \in (-\infty, 7]\).
3. Намираме сечението на двата интервала: \((-4, \infty) \cap (-\infty, 7]\).
Решение: \(x \in (-4, 7]\).
1. Решението на първото неравенство е \(x > -4\), т.е. \(x \in (-4, \infty)\).
2. Решението на второто неравенство е \(x \leq 7\), т.е. \(x \in (-\infty, 7]\).
3. Намираме сечението на двата интервала: \((-4, \infty) \cap (-\infty, 7]\).
Решение: \(x \in (-4, 7]\).
Решете системата \( \begin{cases} x-2 > 0 \\ x+1 \leq 5 \end{cases} \).
1. От \(x-2 > 0\) следва \(x > 2\).
2. От \(x+1 \leq 5\) следва \(x \leq 4\).
3. Общото решение е сечението на \(x>2\) и \(x \leq 4\).
Отговор: \(x \in (2, 4]\).
2. От \(x+1 \leq 5\) следва \(x \leq 4\).
3. Общото решение е сечението на \(x>2\) и \(x \leq 4\).
Отговор: \(x \in (2, 4]\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете квадратното неравенство \(x^2 - 16 \leq 0\).
Корените на \(x^2 - 16 = 0\) са \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 4\). Старшият коефициент \(a=1>0\). Търсим къде изразът е \(\leq 0\), което е между корените.
Отговор: \(x \in [-4, 4]\).
Отговор: \(x \in [-4, 4]\).
Средна: Решете модулното неравенство \(|2x - 3| > 7\).
Неравенството е еквивалентно на \(2x - 3 < -7\) или \(2x - 3 > 7\).
1. \(2x < -4 \Rightarrow x < -2\)
2. \(2x > 10 \Rightarrow x > 5\)
Отговор: \(x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)\).
1. \(2x < -4 \Rightarrow x < -2\)
2. \(2x > 10 \Rightarrow x > 5\)
Отговор: \(x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)\).
Трудна: Решете чрез метода на интервалите \(\frac{(x-1)(x+5)}{x-3} \geq 0\).
Корените са \(x=1, x=-5, x=3\). Подреждаме ги на числовата ос: -5, 1, 3.
Знаците в интервалите са:
\((-\infty, -5] \quad (-) \quad [-5, 1] \quad (+) \quad [1, 3) \quad (-) \quad (3, \infty) \quad (+)\)
Търсим къде изразът е \(\geq 0\). Коренът на знаменателя \(x=3\) се изключва.
Отговор: \(x \in [-5, 1] \cup (3, \infty)\).
Знаците в интервалите са:
\((-\infty, -5] \quad (-) \quad [-5, 1] \quad (+) \quad [1, 3) \quad (-) \quad (3, \infty) \quad (+)\)
Търсим къде изразът е \(\geq 0\). Коренът на знаменателя \(x=3\) се изключва.
Отговор: \(x \in [-5, 1] \cup (3, \infty)\).
