Най-важното от урока
Произведение в сбор: \( \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \)
Частно в разлика: \( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
Степен в множител: \( \log_a (x^p) = p \cdot \log_a x \)
Корен в делител: \( \log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x \)
Частно в разлика: \( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
Степен в множител: \( \log_a (x^p) = p \cdot \log_a x \)
Корен в делител: \( \log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x \)
Логаритъмът на произведение от две или повече положителни числа е равен на сбора от техните логаритми.
\[ \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \]
Където \( a, x, y > 0 \) и \( a \neq 1 \).
Пресмятане на \( \log_6 4 + \log_6 9 \):
\[ \log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2 \]
Пресметнете \( \log_{12} 3 + \log_{12} 4 \).
Отговор: \( \log_{12} (3 \cdot 4) = \log_{12} 12 = 1 \)
Логаритъмът на частно на две положителни числа е равен на разликата от логаритъма на делимото и логаритъма на делителя.
\[ \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \]
Където \( a, x, y > 0 \) и \( a \neq 1 \).
Пресмятане на \( \log_3 18 - \log_3 2 \):
\[ \log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \left(\frac{18}{2}\right) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \]
Пресметнете \( \log_5 50 - \log_5 2 \).
Отговор: \( \log_5 \left(\frac{50}{2}\right) = \log_5 25 = 2 \)
При логаритмуване на степен, степенният показател се изнася като множител пред логаритъма.
\[ \log_a (x^p) = p \cdot \log_a x \]
Където \( a, x > 0, a \neq 1 \) и \(p\) е реално число.
Опростяване на \( \log_7 49 \):
\[ \log_7 49 = \log_7 7^2 = 2 \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 \]
Опростете \( \log_2 8^3 \).
Отговор: \( 3 \cdot \log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9 \)
Това е частен случай на логаритъм от степен, тъй като \( \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \).
\[ \log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x \]
Където \( a, x > 0, a \neq 1 \) и \(n\) е естествено число.
Пресмятане на \( \log_2 \sqrt[3]{2} \):
\[ \log_2 \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \]
Опростете \( \log_5 \sqrt[4]{25} \).
Отговор: \( \frac{1}{4} \log_5 25 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} \)
Това е обратният процес на логаритмуването - намиране на числото \( x \), ако е известен неговият логаритъм. Целта е да се опрости изразът до вида \( \log_a x = \log_a M \), откъдето следва \( x=M \).
Намерете \( x \) от равенството \( \log_6 x = 3 \log_6 2 + 0,5 \log_6 25 - \log_6 9 \).
1. Прилагаме правилото за степен: \( \log_6 x = \log_6 2^3 + \log_6 25^{0,5} - \log_6 9 \)
2. Опростяваме: \( \log_6 x = \log_6 8 + \log_6 5 - \log_6 9 \)
3. Прилагаме правилото за произведение: \( \log_6 x = \log_6 (8 \cdot 5) - \log_6 9 = \log_6 40 - \log_6 9 \)
4. Прилагаме правилото за частно: \( \log_6 x = \log_6 \frac{40}{9} \)
Следователно \( x = \frac{40}{9} \).
1. Прилагаме правилото за степен: \( \log_6 x = \log_6 2^3 + \log_6 25^{0,5} - \log_6 9 \)
2. Опростяваме: \( \log_6 x = \log_6 8 + \log_6 5 - \log_6 9 \)
3. Прилагаме правилото за произведение: \( \log_6 x = \log_6 (8 \cdot 5) - \log_6 9 = \log_6 40 - \log_6 9 \)
4. Прилагаме правилото за частно: \( \log_6 x = \log_6 \frac{40}{9} \)
Следователно \( x = \frac{40}{9} \).
Намерете \( x \), ако \( \log_2 x = 2 \log_2 3 + \log_2 5 - \log_2 9 \).
\( \log_2 x = \log_2 3^2 + \log_2 5 - \log_2 9 \)
\( \log_2 x = \log_2 9 + \log_2 5 - \log_2 9 \)
\( \log_2 x = \log_2 (9 \cdot 5) - \log_2 9 \)
\( \log_2 x = \log_2 \frac{45}{9} = \log_2 5 \)
Отговор: \( x=5 \)
\( \log_2 x = \log_2 9 + \log_2 5 - \log_2 9 \)
\( \log_2 x = \log_2 (9 \cdot 5) - \log_2 9 \)
\( \log_2 x = \log_2 \frac{45}{9} = \log_2 5 \)
Отговор: \( x=5 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \log_6 12 + \log_6 3 \).
Прилагаме правилото за логаритъм на произведение:
\[ \log_6 (12 \cdot 3) = \log_6 36 = 2 \]
Средна: Представете израза \( A = 2\lg 5 + \lg 4 \) като един логаритъм и намерете стойността му.
Първо прилагаме правилото за логаритъм на степен, а след това за произведение:
\[ A = \lg 5^2 + \lg 4 = \lg 25 + \lg 4 = \lg (25 \cdot 4) = \lg 100 = 2 \]
Трудна: Ако \( \log_a x = 2 \) и \( \log_a y = 3 \), намерете стойността на израза \( \log_a \frac{x^3}{\sqrt{y}} \).
Разлагаме израза, използвайки правилата за логаритмуване:
\[ \log_a \frac{x^3}{\sqrt{y}} = \log_a (x^3) - \log_a (\sqrt{y}) = 3 \log_a x - \frac{1}{2} \log_a y \]
Сега заместваме с дадените стойности:
\[ 3 \cdot (2) - \frac{1}{2} \cdot (3) = 6 - 1.5 = 4.5 \]
