Най-важното от урока
Таблица на честотите: Организира данните, като показва колко често се среща всяка стойност (\(f_i\)) или стойности в даден интервал.
Графики: Хистограмите и полигоните визуализират разпределението на честотите.
Средна стойност (\(\bar{x}\)): Обобщава "типичната" стойност в данните. Пример: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n}\).
Стандартно отклонение (\(\sigma\)): Измерва разсейването на данните около средната стойност.
Доверителен интервал: Оценява параметър на генералната съвкупност (напр. истинския процент) на базата на извадка. Пример: \(p \pm z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
Графики: Хистограмите и полигоните визуализират разпределението на честотите.
Средна стойност (\(\bar{x}\)): Обобщава "типичната" стойност в данните. Пример: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n}\).
Стандартно отклонение (\(\sigma\)): Измерва разсейването на данните около средната стойност.
Доверителен интервал: Оценява параметър на генералната съвкупност (напр. истинския процент) на базата на извадка. Пример: \(p \pm z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
Таблицата на честотите организира данните, като показва колко пъти се среща всяка отделна стойност на признака.
Абсолютна честота (\(f_i\)): Броят пъти, които една стойност се повтаря.
Относителна честота (\(p_i\)): Делът на всяка стойност от общия брой наблюдения. Изчислява се като \(p_i = \frac{f_i}{n}\), където \(n\) е общият брой наблюдения.
Натрупана (кумулативна) честота (\(C_i\) или \(C_i^P\)): Сборът от честотите на текущата и всички предходни групи.
В анкета за брой стаи (общо 80 отговора), 32 семейства са посочили 3 стаи.
- Абсолютна честота за "3 стаи": \(f_i = 32\).
- Относителна честота за "3 стаи": \(p_i = \frac{32}{80} = 0.4\) (или 40%).
Графичното представяне на честотите за негрупирани данни става с полигон на честотите (начупена линия, свързваща точките \((x_i; f_i)\)) и кумула (начупена линия, свързваща точките \((x_i; C_i)\)).
При хвърляне на зар 10 пъти са се паднали числата: 1, 6, 4, 3, 6, 2, 5, 6, 4, 3. Каква е абсолютната и относителната честота на числото 6?
Числото 6 се среща 3 пъти. Общият брой хвърляния е 10.
Абсолютна честота: \(f = 3\).
Относителна честота: \(p = \frac{3}{10} = 0.3\).
Абсолютна честота: \(f = 3\).
Относителна честота: \(p = \frac{3}{10} = 0.3\).
Когато данните са многобройни и с голям диапазон (напр. месечен разход), те се групират в интервали с еднаква ширина. Всички изчисления след това се правят със средите на интервалите.
Определя се обхватът на данните (\(x_{max} - x_{min}\)).
Определя се брой на групите (\(k\)).
Изчислява се ширината на интервала: \(h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k}\).
Дефинират се интервалите и се преброяват наблюденията във всеки.
За месечни разходи от 15 лв. до 63 лв., данните са групирани в 8 интервала с ширина \(h = \frac{63-15}{8} = 6\) лв. Първият интервал е \([15; 21)\), неговата среда е \(x_1 = \frac{15+21}{2} = 18\). Ако в този интервал попадат 3 стойности, абсолютната му честота е \(f_1 = 3\).
Графичното представяне на групирани данни става с хистограма (стълбчета за всеки интервал) и полигон (свързване на средите на горните основи на стълбчетата).
Дадени са височините на група ученици в см: 162, 175, 168, 181, 171. Ако първият интервал за групиране е [160; 170), колко ученици попадат в него?
В интервала [160; 170) попадат стойностите 162 и 168.
Отговор: 2 ученици.
Отговор: 2 ученици.
Това са стойности, които обобщават данните и описват тяхното разпределение.
Средна аритметична стойност (\(\bar{x}\)): Показва "центъра" на данните.
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k x_i f_i \]
(\(x_i\) е стойността или средата на интервала, \(f_i\) е честотата, \(n\) е общият брой)
Дисперсия (\(\sigma^2\)) и Стандартно отклонение (\(\sigma\)): Показват степента на разсейване (разпръснатост) на данните около средната стойност.
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k (x_i - \bar{x})^2 f_i \quad \text{и} \quad \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
За данните за брой стаи е изчислена средна аритметична стойност \(\bar{x} = 3\) стаи. Стандартното отклонение е \(\sigma \approx 0.97\) стаи, което показва как средно отговорите се отклоняват от средната стойност 3.
Намерете средната аритметична стойност на данните: 5, 8, 8.
\(\bar{x} = \frac{5 \cdot 1 + 8 \cdot 2}{3} = \frac{5+16}{3} = \frac{21}{3} = 7\).
Отговор: \(\bar{x} = 7\).
Отговор: \(\bar{x} = 7\).
Доверителният интервал дава диапазон от стойности, в който с определена вероятност (напр. 95% или 98%) се намира истинският относителен дял (\(\pi\)) на признака в цялата генерална съвкупност (напр. всички купувачи в страната), на базата на данни от извадка.
\[ p - \Delta_p \le \pi \le p + \Delta_p \]
където \(p = \frac{f}{n}\) е относителният дял в извадката, а \(\Delta_p = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\) е максималната допустима грешка. Множителят \(z\) зависи от избраната доверителна вероятност (напр. за 95% вероятност \(z=1.96\)).
От 80 анкетирани, 64 искат топлофицирано жилище (\(p=0.8\)). С 95% сигурност (\(z=1.96\)), е изчислен доверителен интервал \([0.713; 0.887]\).
Извод: Можем да твърдим с 95% сигурност, че истинският дял на всички потенциални купувачи, които искат топлофикация, е между 71.3% и 88.7%.
Извод: Можем да твърдим с 95% сигурност, че истинският дял на всички потенциални купувачи, които искат топлофикация, е между 71.3% и 88.7%.
В извадка от 100 души, 36 използват услугите и на друг оператор. Каква е точковата оценка (\(p\)) на относителния дял?
Точковата оценка е относителният дял в извадката.
\(p = \frac{36}{100} = 0.36\).
Отговор: \(p=0.36\) (или 36%).
\(p = \frac{36}{100} = 0.36\).
Отговор: \(p=0.36\) (или 36%).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадени са следните оценки на 10 ученици: 5, 4, 6, 5, 5, 3, 4, 5, 6, 2. Каква е абсолютната честота на оценка "5"?
Преброяваме колко пъти се среща оценката "5". Тя се среща 4 пъти.
Отговор: Абсолютната честота е 4.
Отговор: Абсолютната честота е 4.
Средна: Намерете средния успех от оценките в предходната задача (5, 4, 6, 5, 5, 3, 4, 5, 6, 2).
Събираме всички оценки и делим на техния брой:
\[ \bar{x} = \frac{5+4+6+5+5+3+4+5+6+2}{10} = \frac{45}{10} = 4.50 \]
Отговор: Средният успех е 4.50.
Трудна: При проучване на 400 избиратели, 220 от тях заявяват, че ще гласуват за партия "А". Постройте 95% доверителен интервал за относителния дял на избирателите, които ще подкрепят партия "А". (Използвайте \(z=1.96\)).
1. Намираме точковата оценка: \(p = \frac{220}{400} = 0.55\).
2. Изчисляваме максималната допустима грешка: \[ \Delta_p = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55(1-0.55)}{400}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{400}} \approx 1.96 \cdot 0.0247 \approx 0.0485 \] 3. Построяваме интервала: \[ p \pm \Delta_p \Rightarrow 0.55 \pm 0.0485 \] Долна граница: \(0.55 - 0.0485 = 0.5015\)
Горна граница: \(0.55 + 0.0485 = 0.5985\)
Отговор: С 95% сигурност можем да твърдим, че между 50.15% и 59.85% от всички избиратели подкрепят партия "А".
2. Изчисляваме максималната допустима грешка: \[ \Delta_p = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55(1-0.55)}{400}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{400}} \approx 1.96 \cdot 0.0247 \approx 0.0485 \] 3. Построяваме интервала: \[ p \pm \Delta_p \Rightarrow 0.55 \pm 0.0485 \] Долна граница: \(0.55 - 0.0485 = 0.5015\)
Горна граница: \(0.55 + 0.0485 = 0.5985\)
Отговор: С 95% сигурност можем да твърдим, че между 50.15% и 59.85% от всички избиратели подкрепят партия "А".
