Най-важното от урока
Размах: Най-бързата, но и най-груба мярка за разсейване (\(R = x_{max} - x_{min}\)).
Линейно отклонение: Показва средното абсолютно отклонение от центъра на данните.
Дисперсия (\(\sigma^2\)): Средната стойност на квадратите на отклоненията. Измерва се в квадратни единици.
Стандартно отклонение (\(\sigma\)): Корен квадратен от дисперсията. Най-важната и често използвана характеристика, която показва типичното разстояние на стойностите от средната аритметична.
Линейно отклонение: Показва средното абсолютно отклонение от центъра на данните.
Дисперсия (\(\sigma^2\)): Средната стойност на квадратите на отклоненията. Измерва се в квадратни единици.
Стандартно отклонение (\(\sigma\)): Корен квадратен от дисперсията. Най-важната и често използвана характеристика, която показва типичното разстояние на стойностите от средната аритметична.
Размахът е най-простата мярка за разсейване и представлява разликата между най-голямата (\(x_{max}\)) и най-малката (\(x_{min}\)) стойност в един статистически ред.
\[ R = x_{max} - x_{min} \]
За данните: 10, 9, 8, 11, 12, 6, 7, 14, 13.
Най-голямата стойност е \(x_{max} = 14\).
Най-малката стойност е \(x_{min} = 6\).
Размахът е \(R = 14 - 6 = 8\).
Най-голямата стойност е \(x_{max} = 14\).
Най-малката стойност е \(x_{min} = 6\).
Размахът е \(R = 14 - 6 = 8\).
Намерете размаха на данните: 5, 18, 3, 25, 11.
\(x_{max} = 25\), \(x_{min} = 3\).
Отговор: \(R = 25 - 3 = 22\).
Отговор: \(R = 25 - 3 = 22\).
Линейното отклонение (\(\delta\)) е средната аритметична стойност на абсолютните стойности на отклоненията на всяка стойност (\(x_i\)) от средната аритметична (\(\bar{x}\)).
Негрупирани данни: \( \delta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| \)
Групирани данни: \( \delta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} |x_i - \bar{x}| f_i \) където \(n\) е обемът на извадката, а \(f_i\) е честотата.
Групирани данни: \( \delta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} |x_i - \bar{x}| f_i \) където \(n\) е обемът на извадката, а \(f_i\) е честотата.
За данните: 8, 10, 16.
1. Намираме средната стойност: \( \bar{x} = \frac{8+10+16}{3} = \frac{34}{3} \approx 11.33 \).
2. Намираме абсолютните отклонения: \(|8 - 11.33| \approx 3.33\), \(|10 - 11.33| \approx 1.33\), \(|16 - 11.33| \approx 4.67\).
3. Намираме средната им стойност: \(\delta = \frac{3.33+1.33+4.67}{3} = \frac{9.33}{3} \approx 3.11\).
1. Намираме средната стойност: \( \bar{x} = \frac{8+10+16}{3} = \frac{34}{3} \approx 11.33 \).
2. Намираме абсолютните отклонения: \(|8 - 11.33| \approx 3.33\), \(|10 - 11.33| \approx 1.33\), \(|16 - 11.33| \approx 4.67\).
3. Намираме средната им стойност: \(\delta = \frac{3.33+1.33+4.67}{3} = \frac{9.33}{3} \approx 3.11\).
Намерете линейното отклонение за данните: 5, 10, 15.
1. Средна стойност: \(\bar{x} = \frac{5+10+15}{3} = 10\).
2. Абсолютни отклонения: \(|5-10|=5\), \(|10-10|=0\), \(|15-10|=5\).
3. Линейно отклонение: \(\delta = \frac{5+0+5}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33\).
2. Абсолютни отклонения: \(|5-10|=5\), \(|10-10|=0\), \(|15-10|=5\).
3. Линейно отклонение: \(\delta = \frac{5+0+5}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33\).
Дисперсията (\(\sigma^2\)) е средната аритметична стойност на квадратите на отклоненията на всяка стойност (\(x_i\)) от средната аритметична (\(\bar{x}\)).
Негрупирани данни: \( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \)
Групирани данни: \( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 f_i \)
Групирани данни: \( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 f_i \)
За данните: 9, 12, 13.
1. Намираме средната стойност: \(\bar{x} = \frac{9+12+13}{3} = \frac{34}{3} \approx 11.33\).
2. Намираме квадратите на отклоненията: \((9-11.33)^2 \approx (-2.33)^2 \approx 5.43\), \((12-11.33)^2 \approx (0.67)^2 \approx 0.45\), \((13-11.33)^2 \approx (1.67)^2 \approx 2.79\).
3. Намираме дисперсията: \(\sigma^2 = \frac{5.43+0.45+2.79}{3} = \frac{8.67}{3} \approx 2.89\).
1. Намираме средната стойност: \(\bar{x} = \frac{9+12+13}{3} = \frac{34}{3} \approx 11.33\).
2. Намираме квадратите на отклоненията: \((9-11.33)^2 \approx (-2.33)^2 \approx 5.43\), \((12-11.33)^2 \approx (0.67)^2 \approx 0.45\), \((13-11.33)^2 \approx (1.67)^2 \approx 2.79\).
3. Намираме дисперсията: \(\sigma^2 = \frac{5.43+0.45+2.79}{3} = \frac{8.67}{3} \approx 2.89\).
Намерете дисперсията за данните: 5, 10, 15.
1. Средна стойност: \(\bar{x} = 10\).
2. Квадрати на отклоненията: \((5-10)^2 = 25\), \((10-10)^2 = 0\), \((15-10)^2 = 25\).
3. Дисперсия: \(\sigma^2 = \frac{25+0+25}{3} = \frac{50}{3} \approx 16.67\).
2. Квадрати на отклоненията: \((5-10)^2 = 25\), \((10-10)^2 = 0\), \((15-10)^2 = 25\).
3. Дисперсия: \(\sigma^2 = \frac{25+0+25}{3} = \frac{50}{3} \approx 16.67\).
Стандартното отклонение (\(\sigma\)) е най-често използваната мярка за разсейване. То е равно на корен квадратен от дисперсията и показва средното разсейване на стойностите около средната аритметична.
Колкото по-малко е стандартното отклонение, толкова по-групирани са данните около средната стойност (по-еднородна съвкупност).
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]
За данните от предходния пример (5, 10, 15), дисперсията е \(\sigma^2 \approx 16.67\).
Стандартното отклонение е \(\sigma = \sqrt{16.67} \approx 4.08\).
Стандартното отклонение е \(\sigma = \sqrt{16.67} \approx 4.08\).
Намерете стандартното отклонение за данните: 2, 4, 6.
1. Средна стойност: \(\bar{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4\).
2. Дисперсия: \(\sigma^2 = \frac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67\).
3. Стандартно отклонение: \(\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63\).
2. Дисперсия: \(\sigma^2 = \frac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67\).
3. Стандартно отклонение: \(\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63\).
Задачи за упражнение
Лесна: Оценките на един ученик по математика са 6, 5, 6, 4, 5. Намерете размаха на оценките.
Най-високата оценка е \(x_{max} = 6\), а най-ниската е \(x_{min} = 4\).
Размахът е \(R = 6 - 4 = 2\).
Размахът е \(R = 6 - 4 = 2\).
Средна: Намерете дисперсията и стандартното отклонение на числата 10, 14, 18, 20.
1. Намираме средната аритметична стойност:
\[ \bar{x} = \frac{10+14+18+20}{4} = \frac{62}{4} = 15.5 \]
2. Изчисляваме дисперсията:
\[ \sigma^2 = \frac{(10-15.5)^2 + (14-15.5)^2 + (18-15.5)^2 + (20-15.5)^2}{4} \]
\[ \sigma^2 = \frac{(-5.5)^2 + (-1.5)^2 + (2.5)^2 + (4.5)^2}{4} = \frac{30.25 + 2.25 + 6.25 + 20.25}{4} = \frac{59}{4} = 14.75 \]
3. Намираме стандартното отклонение:
\[ \sigma = \sqrt{14.75} \approx 3.84 \]
Отговор: Дисперсията е 14.75, а стандартното отклонение е приблизително 3.84.
Трудна: Даден е следният вариационен ред, показващ броя на продадените артикули (\(x_i\)) за \(f_i\) дни:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 5 & 8 & 10 \\
\hline
f_i & 3 & 5 & 2 \\
\hline
\end{array} \]
Намерете стандартното отклонение на продажбите.
1. Общият брой наблюдения (дни) е \(n = 3+5+2=10\).
2. Намираме средната аритметична стойност (претеглена): \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n} = \frac{5 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 2}{10} = \frac{15+40+20}{10} = \frac{75}{10} = 7.5 \] 3. Изчисляваме дисперсията (претеглена): \[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{n} = \frac{(5-7.5)^2 \cdot 3 + (8-7.5)^2 \cdot 5 + (10-7.5)^2 \cdot 2}{10} \] \[ \sigma^2 = \frac{(-2.5)^2 \cdot 3 + (0.5)^2 \cdot 5 + (2.5)^2 \cdot 2}{10} = \frac{6.25 \cdot 3 + 0.25 \cdot 5 + 6.25 \cdot 2}{10} \] \[ \sigma^2 = \frac{18.75 + 1.25 + 12.5}{10} = \frac{32.5}{10} = 3.25 \] 4. Намираме стандартното отклонение: \[ \sigma = \sqrt{3.25} \approx 1.80 \] Отговор: Стандартното отклонение е приблизително 1.80.
2. Намираме средната аритметична стойност (претеглена): \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n} = \frac{5 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 2}{10} = \frac{15+40+20}{10} = \frac{75}{10} = 7.5 \] 3. Изчисляваме дисперсията (претеглена): \[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{n} = \frac{(5-7.5)^2 \cdot 3 + (8-7.5)^2 \cdot 5 + (10-7.5)^2 \cdot 2}{10} \] \[ \sigma^2 = \frac{(-2.5)^2 \cdot 3 + (0.5)^2 \cdot 5 + (2.5)^2 \cdot 2}{10} = \frac{6.25 \cdot 3 + 0.25 \cdot 5 + 6.25 \cdot 2}{10} \] \[ \sigma^2 = \frac{18.75 + 1.25 + 12.5}{10} = \frac{32.5}{10} = 3.25 \] 4. Намираме стандартното отклонение: \[ \sigma = \sqrt{3.25} \approx 1.80 \] Отговор: Стандартното отклонение е приблизително 1.80.
