Най-важното от урока
Ключови стратегии:
1. Уеднаквяване на функцията: Ако има \(\sin^2 x\) и \(\cos x\), използвай \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), за да остане само \(\cos x\).
2. Уеднаквяване на аргумента: Ако има \(\cos 2x\) и \(\sin x\), използвай \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), за да остане само аргумент \(x\).
3. Полагане: След уеднаквяване, положи тригонометричната функция на \(t\). Например, \(t = \sin x\).
4. Проверка на интервала: Решенията за \(t\) трябва да са в дефиниционния интервал на функцията (напр. \(t \in [-1, 1]\) за \(\sin x\) и \(\cos x\)).
5. Решаване на основни уравнения: Намери \(x\) от уравненията от вида \(\sin x = t_1\).
1. Уеднаквяване на функцията: Ако има \(\sin^2 x\) и \(\cos x\), използвай \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), за да остане само \(\cos x\).
2. Уеднаквяване на аргумента: Ако има \(\cos 2x\) и \(\sin x\), използвай \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), за да остане само аргумент \(x\).
3. Полагане: След уеднаквяване, положи тригонометричната функция на \(t\). Например, \(t = \sin x\).
4. Проверка на интервала: Решенията за \(t\) трябва да са в дефиниционния интервал на функцията (напр. \(t \in [-1, 1]\) за \(\sin x\) и \(\cos x\)).
5. Решаване на основни уравнения: Намери \(x\) от уравненията от вида \(\sin x = t_1\).
Ако уравнението съдържа \(\sin^2 x\) и \(\cos x\) (или \(\cos^2 x\) и \(\sin x\)), то се свежда до квадратно спрямо една тригонометрична функция, като се използва основното тригонометрично тъждество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
Стъпки:
- Изразете \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) или \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), за да остане само една тригонометрична функция.
- Положете тази функция на \(t\). Например \(t = \cos x\), като \(t \in [-1, 1]\).
- Решете полученото квадратно уравнение за \(t\).
- Проверете кои от корените \(t_1, t_2\) са в интервала \([-1, 1]\).
- Решете основните тригонометрични уравнения (напр. \(\cos x = t_1\)).
Да решим \(2\sin^2 x + \cos x - 1 = 0\).
Заместваме \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ 2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0 \implies 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] Полагаме \(\cos x = t\): \(2t^2 - t - 1 = 0\), с корени \(t_1=1\) и \(t_2 = -1/2\).
И двата корена са в \([-1, 1]\), затова решаваме \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -1/2\).
Заместваме \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ 2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0 \implies 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] Полагаме \(\cos x = t\): \(2t^2 - t - 1 = 0\), с корени \(t_1=1\) и \(t_2 = -1/2\).
И двата корена са в \([-1, 1]\), затова решаваме \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -1/2\).
Решете уравнението \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\).
Заместваме \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \(2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \implies 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\).
Полагаме \(\sin x = t\): \(2t^2 - 3t + 1 = 0\). Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=1/2\).
От \(\sin x = 1\) получаваме \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
От \(\sin x = 1/2\) получаваме \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Полагаме \(\sin x = t\): \(2t^2 - 3t + 1 = 0\). Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=1/2\).
От \(\sin x = 1\) получаваме \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
От \(\sin x = 1/2\) получаваме \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Ако уравнението съдържа функция от \(2x\) и функция от \(x\), използвайте формулите за двоен ъгъл, за да уеднаквите аргументите.
\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \]
\[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \]
\[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \]
Изберете тази формула, която ще остави само един вид тригонометрична функция в уравнението.
Да решим \(\cos 2x - \sqrt{3} \cos x - 2 = 0\).
Използваме \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\): \[ (2\cos^2 x - 1) - \sqrt{3} \cos x - 2 = 0 \implies 2\cos^2 x - \sqrt{3} \cos x - 3 = 0 \] Това уравнение вече е квадратно спрямо \(\cos x\).
Използваме \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\): \[ (2\cos^2 x - 1) - \sqrt{3} \cos x - 2 = 0 \implies 2\cos^2 x - \sqrt{3} \cos x - 3 = 0 \] Това уравнение вече е квадратно спрямо \(\cos x\).
Решете уравнението \(\cos 2x + \sin x = 0\).
Заместваме с \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\): \(1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0 \implies 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\).
Полагаме \(\sin x = t\): \(2t^2 - t - 1 = 0\). Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=-1/2\).
От \(\sin x = 1\) получаваме \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
От \(\sin x = -1/2\) получаваме \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Полагаме \(\sin x = t\): \(2t^2 - t - 1 = 0\). Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=-1/2\).
От \(\sin x = 1\) получаваме \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
От \(\sin x = -1/2\) получаваме \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Ако уравнението съдържа \(\text{tg} x\) и \(\text{cotg} x\), то може да се сведе до квадратно спрямо \(\text{tg} x\) чрез заместване на \(\text{cotg} x = \frac{1}{\text{tg} x}\).
Не забравяйте да проверите дефиниционното множество (ДС): \(\sin x \ne 0\) и \(\cos x \ne 0\).
Да решим \(\text{tg} 2x + 5\text{cotg} 2x = 6\).
ДС: \(x \ne \frac{k\pi}{4}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Заместваме \(\text{cotg} 2x = \frac{1}{\text{tg} 2x}\): \[ \text{tg} 2x + \frac{5}{\text{tg} 2x} = 6 \] Полагаме \(\text{tg} 2x = t\): \(t + \frac{5}{t} = 6 \implies t^2 - 6t + 5 = 0\).
Корените са \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 5\). Решаваме \(\text{tg} 2x = 1\) и \(\text{tg} 2x = 5\).
ДС: \(x \ne \frac{k\pi}{4}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Заместваме \(\text{cotg} 2x = \frac{1}{\text{tg} 2x}\): \[ \text{tg} 2x + \frac{5}{\text{tg} 2x} = 6 \] Полагаме \(\text{tg} 2x = t\): \(t + \frac{5}{t} = 6 \implies t^2 - 6t + 5 = 0\).
Корените са \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 5\). Решаваме \(\text{tg} 2x = 1\) и \(\text{tg} 2x = 5\).
Решете уравнението \(\text{tg}^2 x - 4\text{tg} x + 3 = 0\).
Полагаме \(\text{tg} x = t\). Уравнението става \(t^2 - 4t + 3 = 0\).
Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=3\).
От \(\text{tg} x = 1\) получаваме \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
От \(\text{tg} x = 3\) получаваме \(x = \text{arctg} 3 + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=3\).
От \(\text{tg} x = 1\) получаваме \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
От \(\text{tg} x = 3\) получаваме \(x = \text{arctg} 3 + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
При уравнения, съдържащи \(\sin 2x\) и \(\sin x + \cos x\), се използва полагане \(t = \sin x + \cos x\).
Повдигаме полагането на квадрат:
\[ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x \]
Оттук изразяваме \(\sin 2x = t^2 - 1\).
Допустимите стойности за \(t = \sin x + \cos x\) са в интервала \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\). Корени извън този интервал се отхвърлят.
Да решим \((\sin x + \cos x)^2 - \sqrt{2}(\sin x + \cos x) = 0\).
Полагаме \(\sin x + \cos x = t\): \[ t^2 - \sqrt{2}t = 0 \implies t(t-\sqrt{2}) = 0 \] Корените са \(t_1 = 0\) и \(t_2 = \sqrt{2}\). И двата са в интервала \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).
Решаваме \(\sin x + \cos x = 0\) и \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\).
Полагаме \(\sin x + \cos x = t\): \[ t^2 - \sqrt{2}t = 0 \implies t(t-\sqrt{2}) = 0 \] Корените са \(t_1 = 0\) и \(t_2 = \sqrt{2}\). И двата са в интервала \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).
Решаваме \(\sin x + \cos x = 0\) и \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\).
Решете уравнението \(\sin 2x + \sin x + \cos x = 1\).
Полагаме \(t = \sin x + \cos x\), откъдето \(\sin 2x = t^2-1\).
Уравнението става: \((t^2 - 1) + t = 1 \implies t^2 + t - 2 = 0\).
Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=-2\).
Тъй като \(t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\), коренът \(t_2=-2\) отпада.
Решаваме \(\sin x + \cos x = 1 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Оттук \(x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}+2k\pi \implies x=2k\pi\) и \(x+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}+2k\pi \implies x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Уравнението става: \((t^2 - 1) + t = 1 \implies t^2 + t - 2 = 0\).
Корените са \(t_1=1\) и \(t_2=-2\).
Тъй като \(t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\), коренът \(t_2=-2\) отпада.
Решаваме \(\sin x + \cos x = 1 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Оттук \(x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}+2k\pi \implies x=2k\pi\) и \(x+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}+2k\pi \implies x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\).
Полагаме \(\sin x = t\), \(t \in [-1, 1]\).
\(2t^2 - t - 1 = 0\), с корени \(t_1 = 1\) и \(t_2 = -1/2\).
1) \(\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
2) \(\sin x = -1/2 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(2t^2 - t - 1 = 0\), с корени \(t_1 = 1\) и \(t_2 = -1/2\).
1) \(\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
2) \(\sin x = -1/2 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Средна: Решете уравнението \(\cos 2x = 3\sin x + 2\).
Използваме \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\).
\(1 - 2\sin^2 x = 3\sin x + 2 \implies 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0\).
Полагаме \(\sin x = t\), \(t \in [-1, 1]\).
\(2t^2 + 3t + 1 = 0\), с корени \(t_1 = -1\) и \(t_2 = -1/2\).
1) \(\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
2) \(\sin x = -1/2 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(1 - 2\sin^2 x = 3\sin x + 2 \implies 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0\).
Полагаме \(\sin x = t\), \(t \in [-1, 1]\).
\(2t^2 + 3t + 1 = 0\), с корени \(t_1 = -1\) и \(t_2 = -1/2\).
1) \(\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\).
2) \(\sin x = -1/2 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Трудна: Решете уравнението \(3\sin 2x + 5(\sin x + \cos x) + 5 = 0\).
Полагаме \(t = \sin x + \cos x\), откъдето \(\sin 2x = t^2 - 1\). Допустими стойности за \(t\) са \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).
Уравнението става: \(3(t^2-1) + 5t + 5 = 0 \implies 3t^2 + 5t + 2 = 0\).
Корените са \(t_1 = -1\) и \(t_2 = -2/3\). И двата са в интервала \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).
1) \(\sin x + \cos x = -1 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -1 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Решенията са \(x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) и \(x+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \pi + 2k\pi\).
2) \(\sin x + \cos x = -2/3 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -2/3 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Решенията са \(x+\frac{\pi}{4} = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} - \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2k\pi\) и \(x+\frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2k\pi \implies x=\frac{3\pi}{4}+\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3})+2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Уравнението става: \(3(t^2-1) + 5t + 5 = 0 \implies 3t^2 + 5t + 2 = 0\).
Корените са \(t_1 = -1\) и \(t_2 = -2/3\). И двата са в интервала \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).
1) \(\sin x + \cos x = -1 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -1 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Решенията са \(x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) и \(x+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \pi + 2k\pi\).
2) \(\sin x + \cos x = -2/3 \implies \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -2/3 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Решенията са \(x+\frac{\pi}{4} = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} - \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2k\pi\) и \(x+\frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2k\pi \implies x=\frac{3\pi}{4}+\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{3})+2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
