Най-важното от урока
\(|f(x)| < m \iff -m < f(x) < m\) (СИСТЕМА/СЕЧЕНИЕ).
Пример: \(|x-1|<3 \Rightarrow -3 < x-1 < 3 \Rightarrow -2 < x < 4\).
\(|f(x)| > m \iff f(x) < -m\) или \(f(x) > m\) (ОБЕДИНЕНИЕ).
Пример: \(|x-1|>3 \Rightarrow x-1 < -3\) или \(x-1 > 3 \Rightarrow x < -2\) или \(x > 4\).
Специални случаи: Винаги помни, че \(|f(x)| \ge 0\).
Пример: \(|x^2+2| < -4\) няма решение.
Пример: \(|x-1|<3 \Rightarrow -3 < x-1 < 3 \Rightarrow -2 < x < 4\).
\(|f(x)| > m \iff f(x) < -m\) или \(f(x) > m\) (ОБЕДИНЕНИЕ).
Пример: \(|x-1|>3 \Rightarrow x-1 < -3\) или \(x-1 > 3 \Rightarrow x < -2\) или \(x > 4\).
Специални случаи: Винаги помни, че \(|f(x)| \ge 0\).
Пример: \(|x^2+2| < -4\) няма решение.
Неравенството \(|f(x)| < m\) е еквивалентно на двойното неравенство \(-m < f(x) < m\). Това се решава като система от две неравенства, чиито решения сесичаме:
\[ \begin{cases} f(x) < m \\ f(x) > -m \end{cases} \]
Да решим неравенството \(|x^2 - 5| < 4\).
То е еквивалентно на системата: \[ \begin{cases} x^2 - 5 < 4 \\ x^2 - 5 > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 9 < 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \] Решенията на първото неравенство, \((x-3)(x+3)<0\), са \(x \in (-3, 3)\).
Решенията на второто неравенство, \((x-1)(x+1)>0\), са \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).
Търсим сечението (общата част) на двата интервала.
Крайният отговор е \(x \in (-3, -1) \cup (1, 3)\).
То е еквивалентно на системата: \[ \begin{cases} x^2 - 5 < 4 \\ x^2 - 5 > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 9 < 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \] Решенията на първото неравенство, \((x-3)(x+3)<0\), са \(x \in (-3, 3)\).
Решенията на второто неравенство, \((x-1)(x+1)>0\), са \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)\).
Търсим сечението (общата част) на двата интервала.
Решете неравенството \(|2x + 1| \le 5\).
Неравенството е еквивалентно на \(-5 \le 2x + 1 \le 5\).
Изваждаме 1 отвсякъде: \(-6 \le 2x \le 4\).
Делим на 2: \(-3 \le x \le 2\).
Отговор: \(x \in [-3, 2]\).
Изваждаме 1 отвсякъде: \(-6 \le 2x \le 4\).
Делим на 2: \(-3 \le x \le 2\).
Отговор: \(x \in [-3, 2]\).
Неравенството \(|f(x)| > m\) е еквивалентно на обединението от решенията на двете неравенства:
\[ f(x) < -m \quad \text{или} \quad f(x) > m \]
Да решим неравенството \(|x^2 - 3x - 4| \ge 6\).
То е еквивалентно на обединението от решенията на: \[ x^2 - 3x - 4 \le -6 \quad \text{или} \quad x^2 - 3x - 4 \ge 6 \] \[ x^2 - 3x + 2 \le 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 3x - 10 \ge 0 \] Решенията на първото неравенство, \((x-1)(x-2) \le 0\), са \(x \in [1, 2]\).
Решенията на второто неравенство, \((x-5)(x+2) \ge 0\), са \(x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)\).
Обединяваме двата резултата.![Хоризонтална числова ос със стрелка вдясно, показваща положителната посока, и маркировки за цели числа. Върху оста са изобразени три интервала, представящи тяхното обединение:
1. Интервалът \((-\infty, -2]\): представена е удебелена линия, простираща се отляво до точка -2. В точка -2 има запълнен кръг, указващ включването на граничната точка.
2. Интервалът \([1, 2]\): представена е удебелена линия между точки 1 и 2. В точки 1 и 2 има запълнени кръгове, указващи включването на граничните точки.
3. Интервалът \([5, \infty)\): представена е удебелена линия, простираща се от точка 5 надясно. В точка 5 има запълнен кръг, указващ включването на граничната точка.
Числата -2, 0, 1, 2, 5 са ясно обозначени на числовата ос.](https://domashno.bg/get_image/9fdc7cde-5acc-4efc-b3a3-474e2f989302?timestamp=1757706552)
Крайният отговор е \(x \in (-\infty, -2] \cup [1, 2] \cup [5, \infty)\).
То е еквивалентно на обединението от решенията на: \[ x^2 - 3x - 4 \le -6 \quad \text{или} \quad x^2 - 3x - 4 \ge 6 \] \[ x^2 - 3x + 2 \le 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 3x - 10 \ge 0 \] Решенията на първото неравенство, \((x-1)(x-2) \le 0\), са \(x \in [1, 2]\).
Решенията на второто неравенство, \((x-5)(x+2) \ge 0\), са \(x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)\).
Обединяваме двата резултата.
Решете неравенството \(|x - 3| > 2\).
Решаваме \(x - 3 < -2\) или \(x - 3 > 2\).
От първото получаваме \(x < 1\).
От второто получаваме \(x > 5\).
Отговор: \(x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)\).
От първото получаваме \(x < 1\).
От второто получаваме \(x > 5\).
Отговор: \(x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)\).
Стойността на всеки модул е винаги по-голяма или равна на нула, т.е. \(|f(x)| \ge 0\).
- \(|x^2 + 5x - 6| \le -1\): Няма решение. Модулът не може да е по-малък от отрицателно число.
- \(|2x + 1| < 0\): Няма решение. Модулът не може да е отрицателен.
- \(|x^2 + 3x - 4| \le 0\): Това е възможно само ако изразът в модула е равен на нула. Решаваме \(x^2 + 3x - 4 = 0\) и получаваме решения \(x_1 = -4, x_2 = 1\).
- \(|x + 4| > -2\): Всяко реално число е решение, \(x \in (-\infty, \infty)\). Модулът винаги е \( \ge 0 \), което е винаги по-голямо от -2.
- \(|x+7|>0\): Решения са всички числа, за които \(x+7 \neq 0\), т.е. \(x \neq -7\).
Решете неравенството \(|3x^2 + 5| < -3\).
Отговор: Няма решение (\(x \in \emptyset\)), тъй като модулът \(|3x^2+5|\) е винаги неотрицателно число и не може да бъде по-малък от -3.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \(|x - 4| \le 5\).
Неравенството е еквивалентно на \(-5 \le x - 4 \le 5\).
Прибавяме 4 към всяка страна: \(-1 \le x \le 9\).
Отговор: \(x \in [-1, 9]\).
Прибавяме 4 към всяка страна: \(-1 \le x \le 9\).
Отговор: \(x \in [-1, 9]\).
Средна: Решете неравенството \(|x^2 - 11| < 5\).
Разписваме системата: \(\begin{cases} x^2 - 11 < 5 \\ x^2 - 11 > -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 16 < 0 \\ x^2 - 6 > 0 \end{cases}\)
1) \(x^2 - 16 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) < 0 \Rightarrow x \in (-4, 4)\).
2) \(x^2 - 6 > 0 \Rightarrow (x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)\).
Засичаме решенията: \(x \in (-4, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 4)\).
1) \(x^2 - 16 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) < 0 \Rightarrow x \in (-4, 4)\).
2) \(x^2 - 6 > 0 \Rightarrow (x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)\).
Засичаме решенията: \(x \in (-4, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 4)\).
Трудна: Решете неравенството \(|x^2 - 5x + 1| \ge 5\).
Разглеждаме обединението на двете неравенства:
1) \(x^2 - 5x + 1 \ge 5 \Rightarrow x^2 - 5x - 4 \ge 0\). Корените са \(x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25+16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}\). Решенията са \(x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{41}}{2}] \cup [\frac{5+\sqrt{41}}{2}, \infty)\).
2) \(x^2 - 5x + 1 \le -5 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 \le 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) \le 0\). Решенията са \(x \in [2, 3]\).
Обединяваме решенията от 1) и 2).
Отговор: \(x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{41}}{2}] \cup [2, 3] \cup [\frac{5+\sqrt{41}}{2}, \infty)\).
1) \(x^2 - 5x + 1 \ge 5 \Rightarrow x^2 - 5x - 4 \ge 0\). Корените са \(x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25+16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}\). Решенията са \(x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{41}}{2}] \cup [\frac{5+\sqrt{41}}{2}, \infty)\).
2) \(x^2 - 5x + 1 \le -5 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 \le 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) \le 0\). Решенията са \(x \in [2, 3]\).
Обединяваме решенията от 1) и 2).
Отговор: \(x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{41}}{2}] \cup [2, 3] \cup [\frac{5+\sqrt{41}}{2}, \infty)\).
