Най-важното от урока
Ключово за анализа на функциите е стойността на параметъра \( a \):
• Квадратна функция (\( ax^2+bx+c \)): Знакът на \( a \) определя посоката на параболата (нагоре при \( a>0 \), надолу при \( a<0 \)) и вида на екстремума (минимум или максимум).
• Показателна (\( a^x \)) и Логаритмична функция (\( \log_a x \)): Стойността на основата \( a \) спрямо 1 определя монотонността. Ако \( a > 1 \), функциите са растящи. Ако \( 0 < a < 1 \), функциите са намаляващи.
• Квадратна функция (\( ax^2+bx+c \)): Знакът на \( a \) определя посоката на параболата (нагоре при \( a>0 \), надолу при \( a<0 \)) и вида на екстремума (минимум или максимум).
• Показателна (\( a^x \)) и Логаритмична функция (\( \log_a x \)): Стойността на основата \( a \) спрямо 1 определя монотонността. Ако \( a > 1 \), функциите са растящи. Ако \( 0 < a < 1 \), функциите са намаляващи.
Графиката на квадратната функция е парабола. Нейният връх \( V(x_0; y_0) \) има абсциса, която се пресмята по формулата \( x_0 = -\frac{b}{2a} \).
Правата линия, която минава през върха \( V \) и е успоредна на ординатната ос, се нарича ос на симетрия. Тя разделя параболата на ляв и десен клон.
Свойства според коефициента \( a \):
- При \( a > 0 \): Параболата е отворена нагоре. Функцията намалява в левия клон (\( x \leq x_0 \)) и расте в десния клон (\( x \geq x_0 \)). Във върха функцията достига своята най-малка стойност.
- При \( a < 0 \): Параболата е отворена надолу. Функцията расте в левия клон (\( x \leq x_0 \)) и намалява в десния клон (\( x \geq x_0 \)). Във върха функцията достига своята най-голяма стойност.
Да се определят интервалите на монотонност и екстремалната стойност на функцията \( y = 2x^2 - 4x + 1 \).
Абсцисата на върха е \( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1 \).
Тъй като \( a = 2 > 0 \), функцията намалява при \( x \leq 1 \) и расте при \( x \geq 1 \).
Екстремалната стойност е най-малка стойност (минимум) при \( x = 1 \):
\( y_{\min} = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 \).
Тъй като \( a = 2 > 0 \), функцията намалява при \( x \leq 1 \) и расте при \( x \geq 1 \).
Екстремалната стойност е най-малка стойност (минимум) при \( x = 1 \):
\( y_{\min} = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 \).
Графиката на показателната функция е разположена изцяло над абсцисната ос, което означава, че функцията приема само положителни стойности.
| Характеристика | Свойство |
|---|---|
| Дефиниционно множество | \( x \in (-\infty; \infty) \) |
| Стойности на функцията | \( y \in (0; \infty) \) |
| Пресечни точки с осите | Не пресича \( Ox \); пресича \( Oy \) в точката \( (0; 1) \) |
Монотонност на показателната функция:
- При \( a > 1 \) функцията расте: \( x_1 < x_2 \Leftrightarrow a^{x_1} < a^{x_2} \)
- При \( 0 < a < 1 \) функцията намалява: \( x_1 < x_2 \Leftrightarrow a^{x_1} > a^{x_2} \)
Сравнете числата \( 2^{-2} \) и \( 2^{1/4} \).
Тъй като основата е \( a = 2 > 1 \), функцията \( y = 2^x \) е растяща.
Сравняваме степенните показатели: \( -2 < \frac{1}{4} \).
Следователно \( 2^{-2} < 2^{1/4} \).
Сравняваме степенните показатели: \( -2 < \frac{1}{4} \).
Следователно \( 2^{-2} < 2^{1/4} \).
Дефиниция на логаритъм: \( \log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b \) при \( b > 0 \).
Основни свойства и действия с логаритми:
\( \log_a 1 = 0 \)
\( \log_a a = 1 \)
\( a^{\log_a b} = b \) (Основно логаритмично тъждество)
\( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
\( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
\( \log_{a^m} x^n = \frac{n}{m} \log_a x \)
\( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \) (Смяна на основата)
\( \log_a 1 = 0 \)
\( \log_a a = 1 \)
\( a^{\log_a b} = b \) (Основно логаритмично тъждество)
\( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
\( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
\( \log_{a^m} x^n = \frac{n}{m} \log_a x \)
\( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \) (Смяна на основата)
| Характеристика | Свойство |
|---|---|
| Дефиниционно множество | \( x \in (0; \infty) \) (само за положителни числа) |
| Стойности на функцията | \( y \in (-\infty; \infty) \) |
| Пресечни точки с осите | Пресича \( Ox \) в точката \( (1; 0) \); не пресича \( Oy \) |
Монотонност на логаритмичната функция:
- При \( a > 1 \) функцията расте: \( 0 < x_1 < x_2 \Leftrightarrow \log_a x_1 < \log_a x_2 \)
- При \( 0 < a < 1 \) функцията намалява: \( 0 < x_1 < x_2 \Leftrightarrow \log_a x_1 > \log_a x_2 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете координатите на върха на параболата и определете дали функцията има най-голяма или най-малка стойност: \( y = x^2 - 4x + 5 \).
Коефициентите са \( a = 1, b = -4 \).
Абсцисата на върха е \( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).
Ординатата е \( y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \). Върхът е \( V(2; 1) \).
Тъй като \( a = 1 > 0 \), параболата е отворена нагоре и във върха функцията достига най-малка стойност (\( y_{\min} = 1 \)).
Абсцисата на върха е \( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).
Ординатата е \( y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \). Върхът е \( V(2; 1) \).
Тъй като \( a = 1 > 0 \), параболата е отворена нагоре и във върха функцията достига най-малка стойност (\( y_{\min} = 1 \)).
Средна: Сравнете по големина числата \( a = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \) и \( b = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} \) като използвате свойствата на показателната функция.
Разглеждаме функцията \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \).
Основата е \( \frac{1}{3} \), което е между 0 и 1. Следователно функцията е намаляваща.
Сравняваме степенните показатели: \( 2 < 3 \).
Тъй като функцията е намаляваща, посоката на неравенството се обръща: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2} > \left(\frac{1}{3}\right)^{3} \).
Следователно \( a > b \).
Основата е \( \frac{1}{3} \), което е между 0 и 1. Следователно функцията е намаляваща.
Сравняваме степенните показатели: \( 2 < 3 \).
Тъй като функцията е намаляваща, посоката на неравенството се обръща: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2} > \left(\frac{1}{3}\right)^{3} \).
Следователно \( a > b \).
Трудна: Дадена е функцията \( g(x) = \log_{\frac{1}{2}} x \). Определете множеството от стойностите ѝ при \( x \in [2; 8] \).
Основата на логаритъма е \( a = \frac{1}{2} \). Тъй като \( 0 < a < 1 \), функцията \( g(x) \) е намаляваща.
От това следва, че при нарастване на \( x \) от 2 до 8, стойностите на функцията ще намаляват.
Намираме стойностите в краищата на интервала:
\( g(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 \) (тъй като \( (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \))
\( g(8) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3 \) (тъй като \( (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8 \))
Тъй като функцията намалява: \( 2 \leq x \leq 8 \Leftrightarrow g(8) \leq g(x) \leq g(2) \).
Следователно \( -3 \leq g(x) \leq -1 \), тоест множеството от стойности е \( [-3; -1] \).
От това следва, че при нарастване на \( x \) от 2 до 8, стойностите на функцията ще намаляват.
Намираме стойностите в краищата на интервала:
\( g(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 \) (тъй като \( (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \))
\( g(8) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3 \) (тъй като \( (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8 \))
Тъй като функцията намалява: \( 2 \leq x \leq 8 \Leftrightarrow g(8) \leq g(x) \leq g(2) \).
Следователно \( -3 \leq g(x) \leq -1 \), тоест множеството от стойности е \( [-3; -1] \).
