Най-важното от урока
Алгоритъм за решаване на екстремални задачи:
- Моделиране: Изразете величината, чийто екстремум търсите (лице, периметър, обем и др.), като функция \(f(x)\) на една променлива \(x\).
- Дефиниционен интервал: Определете интервала от възможни стойности за \(x\) според условията на задачата.
- Изследване на функцията: Намерете най-голямата или най-малката стойност на \(f(x)\) в получения интервал, като използвате подходящ метод:
- Квадратна функция: Намиране на върха \(x_V\).
- Неравенство между средните: При максимизиране на произведение с постоянен сбор.
- Линейна/Тригонометрична: Изследване в краищата на интервала или използване на свойствата на функциите.
- Формулиране на отговора: Интерпретирайте получения резултат и отговорете на въпроса на задачата.
Много задачи за намиране на най-голяма или най-малка стойност се свеждат до намиране на екстремум на квадратна функция от вида \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
Екстремумът на квадратната функция се достига във върха на параболата, при \( x_V = -\frac{b}{2a} \).
- Ако \( a < 0 \), параболата е обърната надолу (\( \cap \)) и във върха има най-голяма стойност (НГС).
- Ако \( a > 0 \), параболата е обърната нагоре (\( \cup \)) и във върха има най-малка стойност (НМС).
Винаги проверявайте дали получената стойност \(x_V\) е в дефиниционния интервал на задачата. Ако не е, екстремумът се достига в някой от краищата на интервала.
Задача: Намерете страните на правоъгълник с най-голямо лице, вписан в квадрат със страна 12 cm (Задача 2 от урока).
Ако означим едната част от страната на квадрата с \(x\), страните на правоъгълника са \(x\sqrt{2}\) и \((12-x)\sqrt{2}\). Лицето е функция на \(x\): \[ f(x) = 2x(12-x) = -2x^2 + 24x, \text{ където } x \in (0; 12) \] Коефициентът \(a = -2 < 0\), следователно функцията има максимум. Намираме го във върха: \[ x_V = -\frac{24}{2(-2)} = 6 \] Тъй като \(6 \in (0; 12)\), НГС се достига при \(x=6\). Страните са \(6\sqrt{2}\) и \(6\sqrt{2}\) – правоъгълникът е квадрат.
Ако означим едната част от страната на квадрата с \(x\), страните на правоъгълника са \(x\sqrt{2}\) и \((12-x)\sqrt{2}\). Лицето е функция на \(x\): \[ f(x) = 2x(12-x) = -2x^2 + 24x, \text{ където } x \in (0; 12) \] Коефициентът \(a = -2 < 0\), следователно функцията има максимум. Намираме го във върха: \[ x_V = -\frac{24}{2(-2)} = 6 \] Тъй като \(6 \in (0; 12)\), НГС се достига при \(x=6\). Страните са \(6\sqrt{2}\) и \(6\sqrt{2}\) – правоъгълникът е квадрат.
Сборът от две числа е 20. Намерете числата, ако сборът от квадратите им е минимален.
Нека числата са \(x\) и \(20-x\). Търсим минимума на функцията \(f(x) = x^2 + (20-x)^2\).
\(f(x) = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400\).
Тъй като \(a=2 > 0\), функцията има минимум във върха: \[ x_V = -\frac{-40}{2 \cdot 2} = 10 \] Отговор: Числата са 10 и 10.
\(f(x) = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400\).
Тъй като \(a=2 > 0\), функцията има минимум във върха: \[ x_V = -\frac{-40}{2 \cdot 2} = 10 \] Отговор: Числата са 10 и 10.
Този метод е полезен за намиране на най-голямо произведение при зададен постоянен сбор.
За всеки две неотрицателни числа \(a\) и \(b\) е вярно неравенството:
\[ \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \]
Равенство се достига тогава и само тогава, когато \(a = b\).
Задача: От всички триъгълници с периметър 36 cm и страна 10 cm, намерете този с най-голямо лице (Задача 1 от урока).
Лицето по Херонова формула се изразява като \( S = 12\sqrt{(18-x)(x-8)} \). Трябва да намерим максимума на произведението \((18-x)(x-8)\).
Сумата на множителите е \((18-x) + (x-8) = 10\), което е константа.
Според неравенството, произведението е максимално, когато множителите са равни: \[ 18 - x = x - 8 \Rightarrow 2x = 26 \Rightarrow x = 13 \] Триъгълникът е равнобедрен със страни 10, 13, 13.
Лицето по Херонова формула се изразява като \( S = 12\sqrt{(18-x)(x-8)} \). Трябва да намерим максимума на произведението \((18-x)(x-8)\).
Сумата на множителите е \((18-x) + (x-8) = 10\), което е константа.
Според неравенството, произведението е максимално, когато множителите са равни: \[ 18 - x = x - 8 \Rightarrow 2x = 26 \Rightarrow x = 13 \] Триъгълникът е равнобедрен със страни 10, 13, 13.
Правоъгълник има периметър 48 cm. Намерете страните му, ако лицето му е максимално.
Нека страните са \(a\) и \(b\). Периметърът е \(2(a+b)=48\), откъдето \(a+b=24\) (константа).
Лицето е \(S=ab\). То е максимално, когато \(\sqrt{ab}\) е максимално.
Според неравенството, това става при \(a=b\).
\(a+a=24 \Rightarrow 2a=24 \Rightarrow a=12\).
Отговор: Правоъгълникът е квадрат със страна 12 cm.
Лицето е \(S=ab\). То е максимално, когато \(\sqrt{ab}\) е максимално.
Според неравенството, това става при \(a=b\).
\(a+a=24 \Rightarrow 2a=24 \Rightarrow a=12\).
Отговор: Правоъгълникът е квадрат със страна 12 cm.
Понякога търсената величина се описва с линейна или тригонометрична функция, чиито екстремуми намираме лесно.
Линейна функция: Функция от вида \( f(x) = ax+b \), дефинирана в затворен интервал \( [c, d] \), достига своите най-голяма и най-малка стойности в краищата на интервала – при \(x=c\) и \(x=d\).
Тригонометрична функция: Екстремумите на функции, съдържащи \( \sin(\alpha) \) или \( \cos(\alpha) \), се намират, като се използват техните познати граници: \( -1 \le \sin(\alpha) \le 1 \) и \( -1 \le \cos(\alpha) \le 1 \).
Задача: Намерете страните на правоъгълник с най-голям периметър, вписан в даден трапец (Задача 4 от урока).
Периметърът е изразен чрез височината \(z\) на правоъгълника като \( P(z) = 12+z \), където \( z \in [0, 4] \).
Това е растяща линейна функция. Следователно НГС се достига в десния край на интервала, при \(z=4\).
Периметърът е изразен чрез височината \(z\) на правоъгълника като \( P(z) = 12+z \), където \( z \in [0, 4] \).
Това е растяща линейна функция. Следователно НГС се достига в десния край на интервала, при \(z=4\).
За кой ъгъл \( \alpha \in [0^\circ, 90^\circ] \) изразът \( A = 10 - 3\sin(\alpha) \) има най-малка стойност?
Изразът \( A \) ще е най-малък, когато \( 3\sin(\alpha) \) е най-голямо.
В интервала \( [0^\circ, 90^\circ] \), функцията \( \sin(\alpha) \) е растяща и достига най-голяма стойност 1 при \( \alpha = 90^\circ \).
Отговор: При \( \alpha = 90^\circ \).
В интервала \( [0^\circ, 90^\circ] \), функцията \( \sin(\alpha) \) е растяща и достига най-голяма стойност 1 при \( \alpha = 90^\circ \).
Отговор: При \( \alpha = 90^\circ \).
Задачи за упражнение
Лесна: Отсечка с дължина 30 cm трябва да се раздели на две части така, че сборът от лицата на равностранните триъгълници, построени върху тези части, да бъде възможно най-малък. Намерете дължините на двете части.
Нека частите са \(x\) и \(30-x\), където \(x \in (0, 30)\).
Лицето на равностранен триъгълник със страна \(a\) е \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Сборът от лицата е \(f(x) = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} + \frac{(30-x)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(x^2 + (30-x)^2)\).
Търсим минимума на \(g(x) = x^2 + 900 - 60x + x^2 = 2x^2 - 60x + 900\).
Това е квадратна функция с \(a=2 > 0\), т.е. има минимум във върха: \[ x_V = -\frac{-60}{2 \cdot 2} = 15 \] Отговор: Двете части трябва да са равни, по 15 cm.
Лицето на равностранен триъгълник със страна \(a\) е \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Сборът от лицата е \(f(x) = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} + \frac{(30-x)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(x^2 + (30-x)^2)\).
Търсим минимума на \(g(x) = x^2 + 900 - 60x + x^2 = 2x^2 - 60x + 900\).
Това е квадратна функция с \(a=2 > 0\), т.е. има минимум във върха: \[ x_V = -\frac{-60}{2 \cdot 2} = 15 \] Отговор: Двете части трябва да са равни, по 15 cm.
Средна: В правоъгълен триъгълник с катети 9 cm и 12 cm е вписан правоъгълник. Две от страните на правоъгълника лежат върху катетите на триъгълника. Намерете размерите на правоъгълника с най-голямо лице.
Нека катетите са \(AC=9\) и \(BC=12\). Нека страните на правоъгълника са \(x\) и \(y\).
От подобието на триъгълниците \( \triangle AMN \) и \( \triangle ABC \) (или подобни) имаме: \[ \frac{AC-x}{AC} = \frac{y}{BC} \Rightarrow \frac{9-x}{9} = \frac{y}{12} \] \[ y = \frac{12(9-x)}{9} = \frac{4}{3}(9-x) = 12 - \frac{4}{3}x \] Лицето е \( S(x) = x \cdot y = x(12 - \frac{4}{3}x) = -\frac{4}{3}x^2 + 12x \).
Търсим максимум на квадратна функция с \( a = -\frac{4}{3} < 0 \): \[ x_V = -\frac{12}{2(-\frac{4}{3})} = -\frac{12}{-\frac{8}{3}} = \frac{12 \cdot 3}{8} = 4.5 \text{ cm} \] Тогава \( y = 12 - \frac{4}{3}(4.5) = 12 - 6 = 6 \text{ cm} \).
Отговор: Страните на правоъгълника са 4.5 cm и 6 cm.
От подобието на триъгълниците \( \triangle AMN \) и \( \triangle ABC \) (или подобни) имаме: \[ \frac{AC-x}{AC} = \frac{y}{BC} \Rightarrow \frac{9-x}{9} = \frac{y}{12} \] \[ y = \frac{12(9-x)}{9} = \frac{4}{3}(9-x) = 12 - \frac{4}{3}x \] Лицето е \( S(x) = x \cdot y = x(12 - \frac{4}{3}x) = -\frac{4}{3}x^2 + 12x \).
Търсим максимум на квадратна функция с \( a = -\frac{4}{3} < 0 \): \[ x_V = -\frac{12}{2(-\frac{4}{3})} = -\frac{12}{-\frac{8}{3}} = \frac{12 \cdot 3}{8} = 4.5 \text{ cm} \] Тогава \( y = 12 - \frac{4}{3}(4.5) = 12 - 6 = 6 \text{ cm} \).
Отговор: Страните на правоъгълника са 4.5 cm и 6 cm.
Трудна: От всички правоъгълници, вписани в окръжност с радиус \(R=5\) cm, намерете този с най-голям периметър.
Нека страните на правоъгълника са \(a\) и \(b\). Диагоналът на правоъгълника е диаметър на окръжността, т.е. \(d=2R=10\) cm.
От Питагорова теорема: \(a^2 + b^2 = d^2 = 100\).
Периметърът е \(P = 2(a+b)\). Трябва да максимизираме сумата \(a+b\).
Нека разгледаме \(P^2 = 4(a+b)^2 = 4(a^2+b^2+2ab) = 4(100+2ab)\).
Периметърът \(P\) ще е максимален, когато произведението \(ab\) (лицето) е максимално.
От неравенството между средните: \(ab\) е максимално при \(a^2+b^2 = \text{const}\), когато \(a=b\).
Тогава правоъгълникът е квадрат.
\(a^2 + a^2 = 100 \Rightarrow 2a^2 = 100 \Rightarrow a^2 = 50 \Rightarrow a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm.
Отговор: Правоъгълникът с най-голям периметър е квадрат със страна \(5\sqrt{2}\) cm.
От Питагорова теорема: \(a^2 + b^2 = d^2 = 100\).
Периметърът е \(P = 2(a+b)\). Трябва да максимизираме сумата \(a+b\).
Нека разгледаме \(P^2 = 4(a+b)^2 = 4(a^2+b^2+2ab) = 4(100+2ab)\).
Периметърът \(P\) ще е максимален, когато произведението \(ab\) (лицето) е максимално.
От неравенството между средните: \(ab\) е максимално при \(a^2+b^2 = \text{const}\), когато \(a=b\).
Тогава правоъгълникът е квадрат.
\(a^2 + a^2 = 100 \Rightarrow 2a^2 = 100 \Rightarrow a^2 = 50 \Rightarrow a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm.
Отговор: Правоъгълникът с най-голям периметър е квадрат със страна \(5\sqrt{2}\) cm.
