Най-важното от урока
Многоцифрени числа: При събиране и изваждане подреждаме по разреди (единици под единици) и започваме от най-ниския разред. За кръгли числа смятаме съкратено: \(65\text{ хил.} + 3\text{ хил.} = 68\text{ хил.}\)
Неизвестни компоненти: Неизвестно събираемо \(= \text{сбор} - \text{събираемо}\); Неизвестно умаляемо \(= \text{разлика} + \text{умалител}\); Неизвестен умалител \(= \text{умаляемо} - \text{разлика}\).
Геометрия и ъгли: Мярката за ъгъл е градус (\(^\circ\)). Ъглите биват: остър (\(< 90^\circ\)), прав (\(= 90^\circ\)), тъп (\(> 90^\circ\)) и изправен (\(= 180^\circ\)). За измерване и чертане се ползва транспортир.
Окръжност: Пълната окръжност съдържа \(360^\circ\). Разделянето ѝ на \(n\) равни сектора става чрез централни ъгли с мярка \(360^\circ : n\).
Неизвестни компоненти: Неизвестно събираемо \(= \text{сбор} - \text{събираемо}\); Неизвестно умаляемо \(= \text{разлика} + \text{умалител}\); Неизвестен умалител \(= \text{умаляемо} - \text{разлика}\).
Геометрия и ъгли: Мярката за ъгъл е градус (\(^\circ\)). Ъглите биват: остър (\(< 90^\circ\)), прав (\(= 90^\circ\)), тъп (\(> 90^\circ\)) и изправен (\(= 180^\circ\)). За измерване и чертане се ползва транспортир.
Окръжност: Пълната окръжност съдържа \(360^\circ\). Разделянето ѝ на \(n\) равни сектора става чрез централни ъгли с мярка \(360^\circ : n\).
Устно смятане: При числа, завършващи на нули (кръгли хиляди, милиони), се извършва действие само с числата преди нулите, след което се дописва съответният брой нули.
\[ 65\,000 + 3\,000 = 65 \text{ хил.} + 3 \text{ хил.} = 68 \text{ хил.} = 68\,000 \]
\[ 256\,000\,000 - 146\,000\,000 = 110\,000\,000 \]
Писмено смятане: Числата се записват едно под друго, така че да съвпадат съответните разреди (единици под единици, десетици под десетици, стотици под стотици и т.н.). Действието започва винаги от най-ниския разред (отдясно наляво).
\[
\begin{array}{r@{\quad}cr}
548\,123 & & 392\,873 \\
+\quad 175 & \text{и} & -\quad 251 \\
\hline
548\,298 & & 392\,622
\end{array}
\]
Пресметнете разликата: \(813\,955 - 3\,005\).
Подреждаме по разреди и изваждаме:
\[
\begin{array}{r}
813\,955 \\
-\quad 3\,005 \\
\hline
810\,950
\end{array}
\]
Неизвестно събираемо (\(x + b = c\)):
\[ x = c - b \quad (\text{от сбора изваждаме известното събираемо}) \]
Пример: \(x + 24\,561 = 396\,564 \implies x = 396\,564 - 24\,561 = 371\,999\)
Неизвестно умаляемо (\(x - b = c\)):
\[ x = c + b \quad (\text{към разликата прибавяме умалителя}) \]
Пример: \(x - 6\,470 = 352\,502 \implies x = 352\,502 + 6\,470 = 358\,972\)
Неизвестен умалител (\(a - x = b\)):
\[ x = a - b \quad (\text{от умаляемото изваждаме разликата}) \]
Пример: \(2\,078 - x = 1\,051 \implies x = 2\,078 - 1\,051 = 1\,027\)
За да проверим дали намерената стойност е правилна, заместваме полученото число на мястото на неизвестното в първоначалния израз.
Намерете неизвестното число: \(57\,000 - x = 21\,000\).
Тъй като търсим умалител, изваждаме разликата от умаляемото:
\[ x = 57\,000 - 21\,000 = 36\,000 \]
Проверка: \(57\,000 - 36\,000 = 21\,000\).
Права форма: Отношенията между величините са изразени директно (например „с \(X\) повече“ означава събиране, а „с \(X\) по-малко“ означава изваждане).
Косвена форма: Условието описва първата величина спрямо втората чрез изрази като „което е с ... по-голямо/по-малко“. За да намерим търсената величина, прилагаме противоположното действие.
Косвена форма: „Васил купил компютър за \(2\,346\) лв., което е с \(1\,206\) лв. повече от цената на телевизора.“
Следствие: Телевизорът е с \(1\,206\) лв. по-евтин от компютъра: \[ \text{Цена на телевизора} = 2\,346 - 1\,206 = 1\,140\text{ лв.} \]
Следствие: Телевизорът е с \(1\,206\) лв. по-евтин от компютъра: \[ \text{Цена на телевизора} = 2\,346 - 1\,206 = 1\,140\text{ лв.} \]
При пресмятане на разстояния внимавайте с мерните единици: \(1\text{ км} = 1\,000\text{ м}\).
Първата отсечка е дълга \(3\text{ км } 250\text{ м}\), което е с \(450\text{ м}\) по-малко от втората. Колко е дълга втората отсечка?
Задачата е в косвена форма: първата е с \(450\text{ м}\) по-малка, следователно втората е с \(450\text{ м}\) по-голяма.
Преобразуваме в метри: \(3\text{ км } 250\text{ м} = 3\,250\text{ м}\). \[ 3\,250 + 450 = 3\,700\text{ м} = 3\text{ км } 700\text{ м} \]
Преобразуваме в метри: \(3\text{ км } 250\text{ м} = 3\,250\text{ м}\). \[ 3\,250 + 450 = 3\,700\text{ м} = 3\text{ км } 700\text{ м} \]
Основната мерна единица за големина на ъгъл е градус (\(^\circ\)).
Пълното завъртане на лъч около върха му до първоначалното положение описва окръжност и образува ъгъл от \(360^\circ\).
| Вид ъгъл | Големина в градуси | Особеност |
|---|---|---|
| Остър ъгъл | по-малък от \(90^\circ\) (\(< 90^\circ\)) | По-тесен от правия ъгъл |
| Прав ъгъл | точно \(90^\circ\) | Раменете му са взаимно перпендикулярни |
| Тъп ъгъл | по-голям от \(90^\circ\) и по-малък от \(180^\circ\) | По-широк от правия ъгъл |
| Изправен ъгъл | точно \(180^\circ\) | Раменете му лежат на една права линия |
Определете вида на ъглите с мерки: \(45^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\), \(180^\circ\).
- \(45^\circ\) - остър ъгъл (по-малък от \(90^\circ\));
- \(90^\circ\) - прав ъгъл;
- \(135^\circ\) - тъп ъгъл (по-голям от \(90^\circ\) и по-малък от \(180^\circ\));
- \(180^\circ\) - изправен ъгъл.
Транспортир (ъгломер) е инструмент за измерване и чертане на ъгли, чиято скала обикновено е разграфена от \(0^\circ\) до \(180^\circ\).
Поставете центъра на транспортира точно върху върха на ъгъла.
Завъртете транспортира така, че нулевото деление (\(0^\circ\)) да легне точно по едното рамо на ъгъла.
Отчетете делението по скалата, през което минава второто рамо (при чертане отбележете точка с молив срещу желаната градусна мярка и я свържете с върха чрез линийка).
Тъй като цялата окръжност съдържа \(360^\circ\), за да се раздели тя на \(n\) равни части, трябва от центъра ѝ да се построят ъгли с мярка:
\[ \text{ъгъл на всяка част} = 360^\circ : n \]
За разделяне на окръжност на 3 равни части:
\[ 360^\circ : 3 = 120^\circ \]
Изчертават се три ъгъла с общ връх в центъра на окръжността, всеки с големина \(120^\circ\).
На колко градуса трябва да бъде равен всеки ъгъл при разделяне на окръжност на 4 равни части?
Разделяме пълния ъгъл на броя на частите:
\[ 360^\circ : 4 = 90^\circ \]
Всеки ъгъл трябва да бъде прав (\(90^\circ\)).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Пресметнете стойността на израза:
\[ 623\,125 + 13\,452 - 25\,000 \]
1. Извършваме събирането:
\[
\begin{array}{r}
623\,125 \\
+\quad 13\,452 \\
\hline
636\,577
\end{array}
\]
2. Извършваме изваждането:
\[
\begin{array}{r}
636\,577 \\
-\quad 25\,000 \\
\hline
611\,577
\end{array}
\]
Отговор: \(611\,577\)
Задача 2 (Средна): Намерете неизвестното число \(x\) от равенството:
\[ 1\,257 - x = 1\,005 + 131 \]
Първо изчисляваме сбора отдясно:
\[ 1\,005 + 131 = 1\,136 \]
Получаваме уравнението:
\[ 1\,257 - x = 1\,136 \]
Тъй като \(x\) е умалител, изваждаме разликата от умаляемото:
\[ x = 1\,257 - 1\,136 = 121 \]
Отговор: \(x = 121\)
Задача 3 (Средна): Фабрика произвела червени и зелени тетрадки. Червените били \(17\,520\). От тях продали \(3\,210\), а от зелените продали \(5\,640\), след което от двата вида останали по равен брой тетрадки. Колко зелени тетрадки са били произведени?
1. Намираме останалите червени тетрадки:
\[ 17\,520 - 3\,210 = 14\,310 \]
2. Толкова са останали и от зелените тетрадки. За да намерим първоначалния им брой, прибавяме продадените:
\[ 14\,310 + 5\,640 = 19\,950 \]
Отговор: Произведени са \(19\,950\) зелени тетрадки.
Задача 4 (Трудна): Окръжност е разделена на 6 равни части чрез радиуси, излизащи от центъра ѝ.
а) Намерете големината на получения ъгъл за всяка част и определете вида му.
б) Какъв по вид ъгъл се образува, ако обединим 2 съседни такива части? А ако обединим 3?
а) Намерете големината на получения ъгъл за всяка част и определете вида му.
б) Какъв по вид ъгъл се образува, ако обединим 2 съседни такива части? А ако обединим 3?
а) Тъй като окръжността описва \(360^\circ\):
\[ 360^\circ : 6 = 60^\circ \]
Ъгълът от \(60^\circ\) е остър ъгъл (тъй като \(60^\circ < 90^\circ\)).
б) При обединяване на 2 части: \[ 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] Полученият ъгъл от \(120^\circ\) е тъп ъгъл (\(90^\circ < 120^\circ < 180^\circ\)).
При обединяване на 3 части: \[ 60^\circ \cdot 3 = 180^\circ \] Полученият ъгъл от \(180^\circ\) е изправен ъгъл.
б) При обединяване на 2 части: \[ 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] Полученият ъгъл от \(120^\circ\) е тъп ъгъл (\(90^\circ < 120^\circ < 180^\circ\)).
При обединяване на 3 части: \[ 60^\circ \cdot 3 = 180^\circ \] Полученият ъгъл от \(180^\circ\) е изправен ъгъл.
