Най-важното от урока
Решаване на уравнения: Целта е чрез еквивалентни преобразувания да се изолира неизвестното \(x\).
Линейно уравнение \(ax+b=0\): Ако \(a \neq 0\), \(x=-b/a\). Ако \(a=0, b \neq 0\), няма решение. Ако \(a=0, b=0\), всяко число е решение.
Произведение равно на нула: Уравнение от вида \((x-a)(x-b)=0\) има корени \(x=a\) и \(x=b\).
Модулно уравнение: \(|x|=c\) (за \(c>0\)) има корени \(x=c\) и \(x=-c\).
Текстови задачи (моделиране):
Линейно уравнение \(ax+b=0\): Ако \(a \neq 0\), \(x=-b/a\). Ако \(a=0, b \neq 0\), няма решение. Ако \(a=0, b=0\), всяко число е решение.
Произведение равно на нула: Уравнение от вида \((x-a)(x-b)=0\) има корени \(x=a\) и \(x=b\).
Модулно уравнение: \(|x|=c\) (за \(c>0\)) има корени \(x=c\) и \(x=-c\).
Текстови задачи (моделиране):
- Движение: \(S = v \cdot t\)
- Работа: \(A = N \cdot t\) (често \(A=1\))
- Лихви: \(L = K \cdot p \cdot t\) (проста лихва)
- Смеси: Балансира се количеството на чистата съставка.
Уравнение е равенство, което съдържа неизвестно число, означено с буква (напр. \(x\)).
Корен (решение) на уравнение е стойност на неизвестното, която превръща уравнението във вярно числово равенство.
Еквивалентни (равносилни) са уравнения, които имат едни и същи корени или и двете нямат корени.
Еквивалентни преобразувания:
- Прехвърляне: Можем да прехвърлим член от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак.
Пример: \(5x - 3 = 2x \iff 5x - 2x = 3\) - Умножение/Деление: Можем да умножим или разделим двете страни на уравнението с едно и също число, различно от нула.
Пример: \(3x = 12 \iff x = 4\) - Опростяване: Можем да заменим всеки израз с тъждествено равен на него израз.
Пример: \((x+1)^2 = 5 \iff x^2+2x+1=5\)
Дадено е уравнението \(x^2 + 5x = 6\). Проверете дали числото 1 е негов корен.
Заместваме \(x\) с 1: \(1^2 + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6\). Получихме \(6=6\), което е вярно.
Отговор: Да, числото 1 е корен на уравнението.
Отговор: Да, числото 1 е корен на уравнението.
Уравнение от вида \(ax+b=0\), където \(x\) е неизвестно, се нарича линейно уравнение. Решението му зависи от коефициентите \(a\) и \(b\).
Възможни случаи за решението:
- При \(a \neq 0\), уравнението има единствен корен: \(x = -\frac{b}{a}\).
- При \(a = 0\) и \(b \neq 0\), уравнението е \(0 \cdot x = -b\) и няма решение.
- При \(a = 0\) и \(b = 0\), уравнението е \(0 \cdot x = 0\) и всяко число е корен.
а) \(3x - 12 = 0 \implies 3x=12 \implies x=4\). (Единствен корен)
б) \((x-1)^2 = x^2 \implies x^2-2x+1=x^2 \implies -2x+1=0 \implies x=0,5\). (Единствен корен)
в) \(2(x+3) = 2x - 1 \implies 2x+6=2x-1 \implies 0 \cdot x = -7\). (Няма решение)
г) \(3(x-1)+3 = 3x \implies 3x-3+3=3x \implies 3x=3x \implies 0 \cdot x = 0\). (Всяко число е корен)
б) \((x-1)^2 = x^2 \implies x^2-2x+1=x^2 \implies -2x+1=0 \implies x=0,5\). (Единствен корен)
в) \(2(x+3) = 2x - 1 \implies 2x+6=2x-1 \implies 0 \cdot x = -7\). (Няма решение)
г) \(3(x-1)+3 = 3x \implies 3x-3+3=3x \implies 3x=3x \implies 0 \cdot x = 0\). (Всяко число е корен)
Решете уравнението \((x+2)^2 - x(x-1) = 3(x+2)\).
\(x^2+4x+4 - x^2+x = 3x+6\)
\(5x+4 = 3x+6\)
\(5x-3x = 6-4\)
\(2x=2\)
Отговор: \(x=1\).
\(5x+4 = 3x+6\)
\(5x-3x = 6-4\)
\(2x=2\)
Отговор: \(x=1\).
Ако произведението на два или повече множителя е равно на нула, то поне един от тях е равен на нула.
\[ (ax+b)(cx+d)=0 \iff ax+b=0 \quad \text{или} \quad cx+d=0 \]
Този метод се използва за решаване на уравнения от по-висока степен (напр. квадратни), като ги разложим на множители.
Решете уравнението \(9x^2 - 4 = 0\).
Лявата страна е формула за разлика от квадрати: \((3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)\).
Уравнението става \((3x-2)(3x+2)=0\).
\(3x-2=0 \implies x_1 = \frac{2}{3}\)
\(3x+2=0 \implies x_2 = -\frac{2}{3}\)
Лявата страна е формула за разлика от квадрати: \((3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)\).
Уравнението става \((3x-2)(3x+2)=0\).
\(3x-2=0 \implies x_1 = \frac{2}{3}\)
\(3x+2=0 \implies x_2 = -\frac{2}{3}\)
Решете уравнението \(x^2 = 5x\).
Прехвърляме всичко от едната страна: \(x^2 - 5x = 0\).
Изнасяме общ множител \(x\): \(x(x-5) = 0\).
Тогава \(x=0\) или \(x-5=0\).
Отговор: Корените са \(x_1 = 0\) и \(x_2=5\).
Изнасяме общ множител \(x\): \(x(x-5) = 0\).
Тогава \(x=0\) или \(x-5=0\).
Отговор: Корените са \(x_1 = 0\) и \(x_2=5\).
Модулно уравнение е уравнение, в което неизвестното се намира под знака на модул. Решението му зависи от стойността на \(c\).
Решаване на \(|ax+b|=c\):
- Ако \(c > 0\), уравнението има два корена, които намираме от \(ax+b=c\) или \(ax+b=-c\).
- Ако \(c = 0\), уравнението има един корен, който намираме от \(ax+b=0\).
- Ако \(c < 0\), уравнението няма реални корени, защото модулът е винаги неотрицателно число.
Решете уравнението \(|2x-1|=5\).
Тъй като \(5>0\), имаме два случая:
1) \(2x-1=5 \implies 2x=6 \implies x_1 = 3\)
2) \(2x-1=-5 \implies 2x=-4 \implies x_2 = -2\)
Тъй като \(5>0\), имаме два случая:
1) \(2x-1=5 \implies 2x=6 \implies x_1 = 3\)
2) \(2x-1=-5 \implies 2x=-4 \implies x_2 = -2\)
Решете уравнението \(5 - |x+3| = 2\).
Първо преобразуваме до основен вид: \(5-2 = |x+3| \implies |x+3| = 3\).
Тъй като \(3>0\), имаме два случая:
1) \(x+3=3 \implies x_1=0\)
2) \(x+3=-3 \implies x_2=-6\)
Отговор: Корените са 0 и -6.
Тъй като \(3>0\), имаме два случая:
1) \(x+3=3 \implies x_1=0\)
2) \(x+3=-3 \implies x_2=-6\)
Отговор: Корените са 0 и -6.
Процесът на "превеждане" на текстова задача на езика на математиката чрез съставяне на уравнение се нарича математическо моделиране.
Избор на неизвестно: Определяме коя величина ще означим с \(x\). Записваме допустимите ѝ стойности (ДС), ако има такива (напр. скоростта трябва да е положителна).
Съставяне на модел: Изразяваме останалите величини чрез \(x\) и съставяме уравнение, което описва връзката между тях. Удобно е да се използва таблица.
Решаване: Решаваме уравнението.
Анализ и отговор: Проверяваме дали намереният корен е от допустимите стойности и записваме отговора на задачата с думи.
Намислих число. Увеличих го с 5 и умножих резултата по 3. Получих 24. Кое е намисленото число?
1. Неизвестно: \(x\) - намисленото число.
2. Модел: \(3(x+5)=24\)
3. Решение: \(3x+15=24 \implies 3x=9 \implies x=3\)
4. Отговор: Намисленото число е 3.
1. Неизвестно: \(x\) - намисленото число.
2. Модел: \(3(x+5)=24\)
3. Решение: \(3x+15=24 \implies 3x=9 \implies x=3\)
4. Отговор: Намисленото число е 3.
Цифрата на десетиците на двуцифрено число е с 3 по-голяма от цифрата на единиците му. Ако разменим местата на цифрите, новото число ще е с 27 по-малко от първоначалното. Намерете числото.
1. Нека цифрата на единиците е \(x\). Тогава цифрата на десетиците е \(x+3\). ДС: \(x \in \{0, 1, ..., 6\}\) и \(x+3 \in \{3, ..., 9\}\).
2. Първоначалното число е \(10(x+3) + x\). Новото число е \(10x + (x+3)\).
Уравнението е: \(10(x+3) + x - 27 = 10x + (x+3)\).
3. Решение:
\(10x+30+x-27 = 11x+3\)
\(11x+3 = 11x+3 \implies 0x=0\).
4. Всяко \(x\) от ДС е решение. Числата са: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.
Забележка: В задачата има грешка и тя става тъждество. Ако се искаше сумата на цифрите да е 11, решението щеше да е едно. \(x+(x+3)=11 \implies 2x=8 \implies x=4\). Числото щеше да е 74.
2. Първоначалното число е \(10(x+3) + x\). Новото число е \(10x + (x+3)\).
Уравнението е: \(10(x+3) + x - 27 = 10x + (x+3)\).
3. Решение:
\(10x+30+x-27 = 11x+3\)
\(11x+3 = 11x+3 \implies 0x=0\).
4. Всяко \(x\) от ДС е решение. Числата са: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.
Забележка: В задачата има грешка и тя става тъждество. Ако се искаше сумата на цифрите да е 11, решението щеше да е едно. \(x+(x+3)=11 \implies 2x=8 \implies x=4\). Числото щеше да е 74.
\[ S = v \cdot t \]
\(S\) - път, \(v\) - скорост, \(t\) - време
При движение по река:
- Скорост по течението: \(v_{\text{по}} = v_{\text{лодка}} + v_{\text{течение}}\)
- Скорост срещу течението: \(v_{\text{срещу}} = v_{\text{лодка}} - v_{\text{течение}}\)
Разстоянието между градовете А и В е 360 km. От А за В тръгва камион със скорост 80 km/h, а едновременно от В за А тръгва кола със скорост 100 km/h. След колко часа ще се срещнат?
Нека времето до срещата е \(x\) часа. Съставяме таблица:
Тъй като се движат един срещу друг, сборът от изминатите от тях пътища е равен на цялото разстояние.
Уравнение: \(S_{\text{камион}} + S_{\text{кола}} = S_{\text{общо}}\)
\[ 80x + 100x = 360 \] \[ 180x = 360 \] \[ x = 2 \] Отговор: Ще се срещнат след 2 часа.
Нека времето до срещата е \(x\) часа. Съставяме таблица:
| \(v\) (km/h) | \(t\) (h) | \(S\) (km) | |
|---|---|---|---|
| Камион | 80 | \(x\) | \(80x\) |
| Кола | 100 | \(x\) | \(100x\) |
Уравнение: \(S_{\text{камион}} + S_{\text{кола}} = S_{\text{общо}}\)
\[ 80x + 100x = 360 \] \[ 180x = 360 \] \[ x = 2 \] Отговор: Ще се срещнат след 2 часа.
Турист изминава разстоянието от град А до град Б за 5 часа. Ако беше увеличил скоростта си с 2 km/h, щеше да измине същото разстояние за 4 часа. Намерете разстоянието между двата града.
Нека първоначалната скорост на туриста е \(v\) km/h. Съставяме таблица:
Разстоянието и в двата случая е едно и също.
Уравнение: \(S_{\text{начално}} = S_{\text{увеличено}}\)
\[ 5v = 4(v+2) \] \[ 5v = 4v + 8 \] \[ v = 8 \text{ km/h} \] Разстоянието е \(S = 5v = 5 \cdot 8 = 40\) km.
Отговор: 40 km.
| \(v\) (km/h) | \(t\) (h) | \(S\) (km) | |
|---|---|---|---|
| Първоначално | \(v\) | 5 | \(5v\) |
| С увеличена скорост | \(v+2\) | 4 | \(4(v+2)\) |
Уравнение: \(S_{\text{начално}} = S_{\text{увеличено}}\)
\[ 5v = 4(v+2) \] \[ 5v = 4v + 8 \] \[ v = 8 \text{ km/h} \] Разстоянието е \(S = 5v = 5 \cdot 8 = 40\) km.
Отговор: 40 km.
\[ A = N \cdot t \]
\(A\) - свършена работа, \(N\) - норма (производителност), \(t\) - време
При задачи, в които не е дадено конкретно количество работа (напр. "един басейн", "една работа"), приемаме, че цялата работа \(A=1\). Тогава производителността \(N\) е частта от работата, свършена за единица време.
Един работник може да свърши дадена работа за 15 дни, а друг - за 10 дни. За колко дни ще свършат работата, ако работят заедно?
Приемаме, че цялата работа е \(A=1\). Нека времето за съвместна работа е \(x\) дни.
Сборът от свършената работа от двамата трябва да е равен на цялата работа (1).
Уравнение: \(A_1 + A_2 = 1\)
\[ \frac{x}{15} + \frac{x}{10} = 1 \] Привеждаме под общ знаменател 30: \[ 2x + 3x = 30 \] \[ 5x = 30 \] \[ x = 6 \] Отговор: Ще свършат работата за 6 дни.
Приемаме, че цялата работа е \(A=1\). Нека времето за съвместна работа е \(x\) дни.
| \(N\) (работа/ден) | \(t\) (дни) | \(A\) (свършена работа) | |
|---|---|---|---|
| Работник 1 | \(\frac{1}{15}\) | \(x\) | \(\frac{x}{15}\) |
| Работник 2 | \(\frac{1}{10}\) | \(x\) | \(\frac{x}{10}\) |
Уравнение: \(A_1 + A_2 = 1\)
\[ \frac{x}{15} + \frac{x}{10} = 1 \] Привеждаме под общ знаменател 30: \[ 2x + 3x = 30 \] \[ 5x = 30 \] \[ x = 6 \] Отговор: Ще свършат работата за 6 дни.
За да изпълни поръчка в срок, цех трябвало да произвежда по 60 детайла на ден. Цехът произвеждал по 70 детайла на ден и приключил 2 дни предсрочно, като произвел 30 детайла над предвиденото. Намерете колко детайла е трябвало да произведе цехът по план.
Нека плановият срок е \(x\) дни. Съставяме таблица:
Действително произведените детайли са с 30 повече от планираните.
Уравнение: \(A_{\text{действ.}} = A_{\text{план}} + 30\)
\[ 70(x-2) = 60x + 30 \] \[ 70x - 140 = 60x + 30 \] \[ 10x = 170 \] \[ x = 17 \text{ дни} \] Планираният брой детайли е \(A_{\text{план}} = 60x = 60 \cdot 17 = 1020\).
Отговор: 1020 детайла.
| \(N\) (детайли/ден) | \(t\) (дни) | \(A\) (детайли) | |
|---|---|---|---|
| По план | 60 | \(x\) | \(60x\) |
| Действително | 70 | \(x-2\) | \(70(x-2)\) |
Уравнение: \(A_{\text{действ.}} = A_{\text{план}} + 30\)
\[ 70(x-2) = 60x + 30 \] \[ 70x - 140 = 60x + 30 \] \[ 10x = 170 \] \[ x = 17 \text{ дни} \] Планираният брой детайли е \(A_{\text{план}} = 60x = 60 \cdot 17 = 1020\).
Отговор: 1020 детайла.
Проста лихва се начислява само върху първоначално вложения капитал за всеки лихвен период.
\[ L = K \cdot p \cdot t \]
\(L\) - лихва, \(K\) - начален капитал, \(p\) - лихвен процент (като дроб, напр. 5% = 0,05), \(t\) - време (брой периоди)
\[ K_n = K + L = K(1 + p \cdot t) \]
\(K_n\) - нараснал капитал (сумата в края на периода)
Влог от 5000 лв. е оставен за 3 години при 2% проста годишна лихва. Каква ще е сумата в края на периода?
Тук \(K=5000\), \(p = 0,02\), \(t=3\).
Лихвата е \(L = 5000 \cdot 0,02 \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300\) лв.
Нарасналият капитал е \(K_n = 5000 + 300 = 5300\) лв.
Или директно: \(K_n = 5000(1 + 0,02 \cdot 3) = 5000(1,06) = 5300\) лв.
Тук \(K=5000\), \(p = 0,02\), \(t=3\).
Лихвата е \(L = 5000 \cdot 0,02 \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300\) лв.
Нарасналият капитал е \(K_n = 5000 + 300 = 5300\) лв.
Или директно: \(K_n = 5000(1 + 0,02 \cdot 3) = 5000(1,06) = 5300\) лв.
Клиент взел заем от 10 000 лв. След 4 години върнал 12 000 лв. Намерете какъв е бил годишният процент на простата лихва.
Лихвата за 4 години е \(L = 12000 - 10000 = 2000\) лв.
\(K=10000\), \(t=4\), \(p=?\).
\(2000 = 10000 \cdot p \cdot 4 \implies 2000 = 40000p \).
\(p = \frac{2000}{40000} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} = 0,05\).
Отговор: Лихвеният процент е 5%.
\(K=10000\), \(t=4\), \(p=?\).
\(2000 = 10000 \cdot p \cdot 4 \implies 2000 = 40000p \).
\(p = \frac{2000}{40000} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} = 0,05\).
Отговор: Лихвеният процент е 5%.
Ключовият принцип е да се състави уравнение за количеството на една от съставките (напр. чиста киселина, чист метал). Количеството на тази съставка преди смесването е равно на количеството ѝ след смесването.
\[ \text{Кол. чиста съставка (начало)} = \text{Кол. чиста съставка (край)} \]
Пример 1 (Разреждане): Колко литра вода трябва да се добавят към 20 литра 40%-ов разтвор на киселина, за да се получи 10%-ов разтвор?
Нека добавената вода е \(x\) литра. Количеството чиста киселина не се променя.
Нека добавената вода е \(x\) литра. Количеството чиста киселина не се променя.
- Количество киселина в началото: \(40\% \text{ от } 20\text{ л} \implies 0,40 \cdot 20\)
- Общо количество на новия разтвор: \(20+x\) л
- Количество киселина накрая: \(10\% \text{ от } (20+x)\text{ л} \implies 0,10 \cdot (20+x)\)
Пример 2 (Смесване): Смесват се 10 kg сплав с 20% мед и 15 kg сплав с 40% мед. Какъв е процентът мед (\(p\)) в получената сплав?
Общото количество мед в новата сплав е сбор от количествата мед в съставните части.
Общото количество мед в новата сплав е сбор от количествата мед в съставните части.
- Количество мед в сплав 1: \(20\% \text{ от } 10\text{ кг} \implies 0,20 \cdot 10\)
- Количество мед в сплав 2: \(40\% \text{ от } 15\text{ кг} \implies 0,40 \cdot 15\)
- Общо тегло на новата сплав: \(10+15=25\) кг
- Общо количество мед в новата сплав: \(p\% \text{ от } 25\text{ кг} \implies p \cdot 25\)
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(\frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{2} = 1\).
Привеждаме под общ знаменател 6:
\(2(x+1) - 3(x-2) = 6 \cdot 1\)
\(2x+2 - 3x+6 = 6\)
\(-x+8=6\)
\(-x = 6-8 \implies -x = -2\)
Отговор: \(x=2\).
\(2(x+1) - 3(x-2) = 6 \cdot 1\)
\(2x+2 - 3x+6 = 6\)
\(-x+8=6\)
\(-x = 6-8 \implies -x = -2\)
Отговор: \(x=2\).
Средна: Намерете сбора от корените на уравнението \(|5 - |x-1|| = 2\).
Уравнението се разпада на два случая:
Случай 1: \(5 - |x-1| = 2 \implies |x-1|=3\)
Оттук имаме \(x-1=3 \implies x_1 = 4\) и \(x-1=-3 \implies x_2 = -2\).
Случай 2: \(5 - |x-1| = -2 \implies |x-1|=7\)
Оттук имаме \(x-1=7 \implies x_3 = 8\) и \(x-1=-7 \implies x_4 = -6\).
Сборът на корените е \(4 + (-2) + 8 + (-6) = 2 + 2 = 4\).
Отговор: 4.
Случай 1: \(5 - |x-1| = 2 \implies |x-1|=3\)
Оттук имаме \(x-1=3 \implies x_1 = 4\) и \(x-1=-3 \implies x_2 = -2\).
Случай 2: \(5 - |x-1| = -2 \implies |x-1|=7\)
Оттук имаме \(x-1=7 \implies x_3 = 8\) и \(x-1=-7 \implies x_4 = -6\).
Сборът на корените е \(4 + (-2) + 8 + (-6) = 2 + 2 = 4\).
Отговор: 4.
Трудна: Двама туристи тръгват едновременно един срещу друг от градовете А и В. Първият се движи със скорост 4 km/h, а вторият - с 5 km/h. Когато първият турист изминал 10 km, на втория му оставали още 20 km до срещата. Намерете разстоянието между А и В.
1. Времето, за което първият турист е изминал 10 km, е \(t = \frac{S}{v} = \frac{10}{4} = 2,5\) часа.
2. За същото време (\(t=2,5\) h), вторият турист е изминал \(S_2 = v_2 \cdot t = 5 \cdot 2,5 = 12,5\) km.
3. В този момент първият е на 10 km от А. Вторият е на 12,5 km от В. На втория му остават 20 km до точката на срещата. Това означава, че разстоянието от В до точката на срещата е \(12,5 + 20 = 32,5\) km.
4. Разстоянието от А до точката на срещата е пътят, който първият турист трябва да измине. Пътят, който вторият е изминал до срещата, е 32,5 km. Времето за това е \(t_{среща} = \frac{32,5}{5} = 6,5\) часа.
5. За 6,5 часа първият турист е изминал \(S_{1-среща} = 4 \cdot 6,5 = 26\) km.
6. Общото разстояние между А и В е сборът от пътищата на двамата до срещата: \(S_{АВ} = S_{1-среща} + S_{2-среща} = 26 + 32,5 = 58,5\) km.
Отговор: 58,5 km.
2. За същото време (\(t=2,5\) h), вторият турист е изминал \(S_2 = v_2 \cdot t = 5 \cdot 2,5 = 12,5\) km.
3. В този момент първият е на 10 km от А. Вторият е на 12,5 km от В. На втория му остават 20 km до точката на срещата. Това означава, че разстоянието от В до точката на срещата е \(12,5 + 20 = 32,5\) km.
4. Разстоянието от А до точката на срещата е пътят, който първият турист трябва да измине. Пътят, който вторият е изминал до срещата, е 32,5 km. Времето за това е \(t_{среща} = \frac{32,5}{5} = 6,5\) часа.
5. За 6,5 часа първият турист е изминал \(S_{1-среща} = 4 \cdot 6,5 = 26\) km.
6. Общото разстояние между А и В е сборът от пътищата на двамата до срещата: \(S_{АВ} = S_{1-среща} + S_{2-среща} = 26 + 32,5 = 58,5\) km.
Отговор: 58,5 km.
