Най-важното от урока
Правило за знаците: Умножението и делението с еднакви знаци дават \(+\),а с различни знаци \(-\).
Пример: \( (-5) \cdot (-2) = 10 \), но \( 10 : (-2) = -5 \).
Деление: Делението е умножение с реципрочното число. Пример: \( \dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} \).
Рационални пресмятания: Използвай свойствата на умножението, за да групираш числата удобно.
Пример: \( 17 \cdot 0,5 \cdot 2 = 17 \cdot (0,5 \cdot 2) = 17 \cdot 1 = 17 \).
Внимание с нулата: Можеш да делиш нула (\(0:7=0\)), но никога не можеш да делиш на нула (\(7:0\) е невъзможно).
Пример: \( (-5) \cdot (-2) = 10 \), но \( 10 : (-2) = -5 \).
Деление: Делението е умножение с реципрочното число. Пример: \( \dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} \).
Рационални пресмятания: Използвай свойствата на умножението, за да групираш числата удобно.
Пример: \( 17 \cdot 0,5 \cdot 2 = 17 \cdot (0,5 \cdot 2) = 17 \cdot 1 = 17 \).
Внимание с нулата: Можеш да делиш нула (\(0:7=0\)), но никога не можеш да делиш на нула (\(7:0\) е невъзможно).
При умножение и деление на две рационални числа първо се определя знакът на резултата, след което се извършва действието с техните модули (абсолютни стойности).
- Еднакви знаци (\(+\) и \(+\) или \(-\) и \(-\)) \(\rightarrow\) резултатът е положителен (\(+\)).
- Различни знаци (\(+\) и \(-\) или \(-\) и \(+\)) \(\rightarrow\) резултатът е отрицателен (\(-\)).
- \((-8) \cdot (-0.5) = 4\) (Минус по минус дава плюс)
- \(2\cdot (-3) = -6\) (Плюс по минус дава минус)
Пресметнете \( (-7) \cdot 1,1 \).
Отговор: \(-7,7\). Знаците са различни, следователно резултатът е отрицателен.
Делението на рационално число \(a\) с друго рационално число \(b\) (различно от нула) е равносилно на умножението на \(a\) с реципрочното число на \(b\).
\[ a : b = a \cdot \frac{1}{b} \quad (b \neq 0) \]
\[ \frac{3}{4} : \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10} \]
Пресметнете \( \left(-\dfrac{2}{7}\right) : \left(-\dfrac{4}{21}\right) \).
\( \left(-\dfrac{2}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{21}{4}\right) = +\dfrac{\cancel2 \cdot \cancel{21}^3}{\cancel7 \cdot \cancel{4}_2} = \dfrac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \dfrac{3}{2} \) или \(1.5\).
Свойствата на умножението помагат за по-лесно и бързо пресмятане на изрази.
- Комутативно (разместително): \(a \cdot b = b \cdot a\)
- Асоциативно (съдружително): \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
- Дистрибутивно (разпределително): \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
За да пресметнем \(2,3 \cdot 5,43 + 2,3 \cdot 4,57\), е по-лесно да изнесем общия множител \(2,3\) пред скоби (дистрибутивно свойство):
\[ 2,3 \cdot (5,43 + 4,57) = 2,3 \cdot 10 = 23 \]
Пресметнете по рационален начин: \( -25 \cdot 7,2 \cdot 0,4 \).
Като използваме разместителното свойство, групираме \( -25 \) и \( 0.4 \):
\( (-25 \cdot 0,.4) \cdot 7,2 = (-10) \cdot 7,2 = -72 \).
\( (-25 \cdot 0,.4) \cdot 7,2 = (-10) \cdot 7,2 = -72 \).
Делението на нула е невъзможно!
- Умножение с \(0\): \( a \cdot 0 = 0 \)
- Деление с \(0\): \( 0 : a = 0 \) (за \( a \ne 0 \))
- Деление на \(0\): \( a : 0 \to \) няма смисъл
- Умножение с \(-1\): \( a \cdot (-1) = -a \)
- Деление на себе си: \( a : a = 1 \) (за \( a \ne 0 \))
Ако \(x \cdot 5 = 0\), то задължително \(x=0\), защото само умножение с нула дава резултат нула.
Пресметнете израза: \( (2,5 - 2,5) : (-10) \).
\( (2,5 - 2,5) : (-10) = 0 : (-10) = 0 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете произведението \( (-12,5) \cdot 0,8 \).
Знаците са различни, така че резултатът е отрицателен.
\( 12,5 \cdot 0,8 = 10 \).
Отговор: \( -10 \).
\( 12,5 \cdot 0,8 = 10 \).
Отговор: \( -10 \).
Средна: Намерете неизвестното число \(x\), ако \( -50,6 : x = 2,2 \).
За да намерим неизвестен делител, трябва да разделим делимото на частното.
\( x = -50,6 : 2,2 \)
\( x = -(506 : 22) \)
\( x = -23 \)
Отговор: \( x = -23 \).
\( x = -50,6 : 2,2 \)
\( x = -(506 : 22) \)
\( x = -23 \)
Отговор: \( x = -23 \).
Трудна: Пресметнете стойността на израза \( A = \left(15 : \left(-\dfrac{5}{3}\right)\right) - 4 \cdot (-2,5) \).
Първо извършваме делението и умножението:
1. \( 15 : \left(-\dfrac{5}{3}\right) = 15 \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{\cancel{15}^3 \cdot 3}{\cancel{5}} = -3 \cdot 3 = -9 \)
2. \( 4 \cdot (-2,5) = -10 \)
Сега заместваме в израза:
\( A = (-9) - (-10) = -9 + 10 = 1 \)
Отговор: \( A = 1 \).
1. \( 15 : \left(-\dfrac{5}{3}\right) = 15 \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{\cancel{15}^3 \cdot 3}{\cancel{5}} = -3 \cdot 3 = -9 \)
2. \( 4 \cdot (-2,5) = -10 \)
Сега заместваме в израза:
\( A = (-9) - (-10) = -9 + 10 = 1 \)
Отговор: \( A = 1 \).
