Най-важното от урока
Съседни ъгли: Имат общо рамо и сборът им е \(180^\circ\). (Пример: \(60^\circ\) и \(120^\circ\)).
Противоположни ъгли: Образуват се при пресичане на прави и са равни. (Пример: Ако единият е \(75^\circ\), срещуположният също е \(75^\circ\)).
Перпендикулярни прави: Пресичат се под прав ъгъл (\(90^\circ\)). Означава се с \( \perp \).
Противоположни ъгли: Образуват се при пресичане на прави и са равни. (Пример: Ако единият е \(75^\circ\), срещуположният също е \(75^\circ\)).
Перпендикулярни прави: Пресичат се под прав ъгъл (\(90^\circ\)). Означава се с \( \perp \).
Съседни ъгли са два ъгъла, които имат едно общо рамо, а другите им две рамене са противоположни лъчи (образуват права линия).
Теорема: Сборът от мерките на два съседни ъгъла е винаги \(180^\circ\).
Ако \( \alpha \) и \( \beta \) са съседни ъгли, то \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
Ако \( \angle BOC= 45^\circ \), то неговият съседен ъгъл \( \angle AOC \) ще бъде:
\[ \angle AOC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]
Един от два съседни ъгъла е \(110^\circ\). Намерете мярката на другия.
Нека търсеният ъгъл е \(x\). Тогава \(x + 110^\circ = 180^\circ\).
\(x = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Отговор: \(70^\circ\).
\(x = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Отговор: \(70^\circ\).
Противоположни (връхни) ъгли се образуват при пресичане на две прави. Това са два ъгъла, чиито рамене са противоположни лъчи.
Теорема: Противоположните ъгли са равни.
Ако две прави се пресичат и единият от ъглите е \(50^\circ\), то неговият противоположен ъгъл също е \(50^\circ\). Другите два ъгъла са съседни на ъгъла от \(50^\circ\), следователно те са \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) и също са противоположни (равни) помежду си.
Две прави се пресичат. Един от ъглите е \(125^\circ\). Намерете мерките на останалите три ъгъла.
Нека ъглите са \( \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 \). Ако \( \angle 1 = 125^\circ \), то:
- Неговият противоположен \( \angle 3 = 125^\circ \).
- Неговият съседен \( \angle 2 = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).
- Противоположният на \( \angle 2 \) е \( \angle 4 = 55^\circ \).
Перпендикулярни прави са две прави, които при пресичането си образуват прав ъгъл (\(90^\circ\)).
Означаваме \( a \perp b \).
Ако един от ъглите при пресичането на две прави е \(90^\circ\), то и останалите три ъгъла също са по \(90^\circ\) (като съседни или противоположни).
Правите \(a\) и \(b\) са перпендикулярни. Какъв е сборът от мерките на два съседни ъгъла, образувани от тях?
Тъй като \( a \perp b \), всички ъгли са по \(90^\circ\). Сборът на два съседни ъгъла е \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), което е вярно за всички съседни ъгли.
Отговор: \(180^\circ\).
Отговор: \(180^\circ\).
- Остър ъгъл: мярката му е по-малка от \(90^\circ\). (Пример: \(30^\circ\))
- Прав ъгъл: мярката му е точно \(90^\circ\).
- Тъп ъгъл: мярката му е по-голяма от \(90^\circ\) и по-малка от \(180^\circ\). (Пример: \(110^\circ\))
- Изправен ъгъл: мярката му е точно \(180^\circ\). Раменете му са противоположни лъчи.
Какъв вид е съседният ъгъл на остър ъгъл с мярка \( \alpha \)?
Съседният ъгъл е \( \beta = 180^\circ - \alpha \). Тъй като \( \alpha < 90^\circ \), то \( \beta > 180^\circ - 90^\circ \), следователно \( \beta > 90^\circ \).
Отговор: Ъгълът е тъп.
Отговор: Ъгълът е тъп.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете мярката на ъгъл, който е с \(40^\circ\) по-голям от своя съседен.
Нека единият ъгъл е \(x\), а другият е \(x + 40^\circ\).
Тъй като са съседни, сборът им е \(180^\circ\).
\(x + (x + 40^\circ) = 180^\circ\)
\(2x + 40^\circ = 180^\circ\)
\(2x = 140^\circ\)
\(x = 70^\circ\)
Единият ъгъл е \(70^\circ\), а другият е \(70^\circ + 40^\circ = 110^\circ\).
Отговор: Търсеният ъгъл е \(110^\circ\).
Тъй като са съседни, сборът им е \(180^\circ\).
\(x + (x + 40^\circ) = 180^\circ\)
\(2x + 40^\circ = 180^\circ\)
\(2x = 140^\circ\)
\(x = 70^\circ\)
Единият ъгъл е \(70^\circ\), а другият е \(70^\circ + 40^\circ = 110^\circ\).
Отговор: Търсеният ъгъл е \(110^\circ\).
Средна: При пресичането на две прави сборът на два от получените ъгли е \(160^\circ\). Намерете мерките на всичките четири ъгъла.
Сборът на два съседни ъгъла е винаги \(180^\circ\). Тъй като даденият сбор е \(160^\circ\), това означава, че двата ъгъла не са съседни, а са противоположни.
Противоположните ъгли са равни. Нека мярката им е \( \alpha \).
\(\alpha + \alpha = 160^\circ \Rightarrow 2\alpha = 160^\circ \Rightarrow \alpha = 80^\circ\).
Два от ъглите са по \(80^\circ\). Техните съседни ъгли са \(180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ\).
Противоположните ъгли са равни. Нека мярката им е \( \alpha \).
\(\alpha + \alpha = 160^\circ \Rightarrow 2\alpha = 160^\circ \Rightarrow \alpha = 80^\circ\).
Два от ъглите са по \(80^\circ\). Техните съседни ъгли са \(180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ\).
Трудна: Ъглополовящата на \( \angle AOB \) образува ъгъл от \(130^\circ\) с лъча, противоположен на \(OA\). Намерете мярката на \( \angle AOB \) и на съседния му ъгъл.
Нека \(OL\) е ъглополовящата на \( \angle AOB \), а \(OC\) е противоположният лъч на \(OA\).
По условие \( \angle COL = 130^\circ \).
Ъглите \( \angle COB \) и \( \angle AOB \) са съседни, значи \( \angle COA = 180^\circ \).
\( \angle COA = \angle COL + \angle LOA \). Значи \( \angle LOA = \angle COA - \angle COL = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
Тъй като \(OL\) е ъглополовяща, \( \angle AOB = 2 \cdot \angle LOA = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ \).
Съседният на \( \angle AOB \) е \( 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Отговор: \( \angle AOB = 100^\circ \), а съседният му ъгъл е \(80^\circ\).
По условие \( \angle COL = 130^\circ \).
Ъглите \( \angle COB \) и \( \angle AOB \) са съседни, значи \( \angle COA = 180^\circ \).
\( \angle COA = \angle COL + \angle LOA \). Значи \( \angle LOA = \angle COA - \angle COL = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
Тъй като \(OL\) е ъглополовяща, \( \angle AOB = 2 \cdot \angle LOA = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ \).
Съседният на \( \angle AOB \) е \( 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Отговор: \( \angle AOB = 100^\circ \), а съседният му ъгъл е \(80^\circ\).
