Най-важното от урока
Основна стъпка: За да работим с многочлен, първо го привеждаме в нормален вид, като събираме подобните едночлени.
Нормален вид: \(5x^2 - 2x + 3x^2 + 4 \rightarrow (5+3)x^2 - 2x + 4 = 8x^2 - 2x + 4\).
Степен: Най-високата степен на член в нормалния вид. За \(8x^2 - 2x + 4\) степента е 2.
Коефициенти: Числата пред променливите. За \(8x^2 - 2x + 4\) коефициентите са 8 и -2.
Свободен член: Членът без променлива. Тук е 4.
Нормален вид: \(5x^2 - 2x + 3x^2 + 4 \rightarrow (5+3)x^2 - 2x + 4 = 8x^2 - 2x + 4\).
Степен: Най-високата степен на член в нормалния вид. За \(8x^2 - 2x + 4\) степента е 2.
Коефициенти: Числата пред променливите. За \(8x^2 - 2x + 4\) коефициентите са 8 и -2.
Свободен член: Членът без променлива. Тук е 4.
Сборът на няколко едночлена се нарича многочлен или полином.
Едночлените, от които е съставен многочленът, се наричат негови членове.
Изразът \(3x^2 + 5xy + 5y\) е многочлен (тричлен), съставен от членовете \(3x^2\), \(5xy\) и \(5y\).
Кои са членовете на многочлена \(7a^2b - 2ab + 5\)?
Отговор: Членовете са \(7a^2b\), \(-2ab\) и \(5\).
Многочлен е в нормален вид, ако всички негови членове са в нормален вид и няма подобни едночлени.
За да приведем многочлен в нормален вид, извършваме т.нар. привеждане – събираме подобните му едночлени.
Прието е многочлен, който съдържа само една променлива и е в нормален вид, да се подрежда по намаляващите степени на променливата
Даден е многочленът \(V = 3x^2 - 7x + 3 + 5x - 4x^2\).
Привеждаме подобните членове: \[ V = (3x^2 - 4x^2) + (-7x + 5x) + 3 = -x^2 - 2x + 3 \] Многочленът \(-x^2 - 2x + 3\) е в нормален вид.
Привеждаме подобните членове: \[ V = (3x^2 - 4x^2) + (-7x + 5x) + 3 = -x^2 - 2x + 3 \] Многочленът \(-x^2 - 2x + 3\) е в нормален вид.
Приведете в нормален вид многочлена \(U = 4x^3 + 5x - 3x^2 - 3 - 3x\).
\(U = 4x^3 - 3x^2 + (5x - 3x) - 3 = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)
Коефициенти на многочлена се наричат коефициентите на членовете му, след като е приведен в нормален вид.
Членът, който не съдържа променлива (едночлен от нулева степен), се нарича свободен член.
За многочлена в нормален вид \(4x^3 - 3x^2 + 2x - 3\):
- Коефициентът пред \(x^3\) е \(4\).
- Коефициентът пред \(x^2\) е \(-3\).
- Коефициентът пред \(x\) е \(2\).
- Свободният член е \(-3\).
Намерете коефициента пред \(x^2\) и свободния член на многочлена \(P = 5x - 4 + 2x^2 - 8x\).
Първо привеждаме в нормален вид: \(P = 2x^2 + (5x - 8x) - 4 = 2x^2 - 3x - 4\).
Отговор: Коефициентът пред \(x^2\) е \(2\), а свободният член е \(-4\).
Отговор: Коефициентът пред \(x^2\) е \(2\), а свободният член е \(-4\).
Степен на многочлен се нарича най-високата от степените на членовете му в неговия нормален вид.
Определете степента на многочлена \(M = 3x^5 + xy - 1 + 8x^5\).
Привеждаме в нормален вид: \(M = (3+8)x^5 + xy - 1 = 11x^5 + xy - 1\).
Степента на \(11x^5\) е 5. Степента на \(xy\) е \(1+1=2\).
Най-високата степен е 5.
Отговор: Многочленът е от пета степен.
Степента на \(11x^5\) е 5. Степента на \(xy\) е \(1+1=2\).
Най-високата степен е 5.
Отговор: Многочленът е от пета степен.
Задачи за упражнение
Лесна: Приведете многочлена \(A = 7a - 2b + 3a + 5b\) в нормален вид.
Групираме подобните членове: \(A = (7a + 3a) + (-2b + 5b)\).
Извършваме действията: \(A = 10a + 3b\).
Извършваме действията: \(A = 10a + 3b\).
Средна: Приведете многочлена \(B = 5x^3 - 3x + 2x^2 - 7 - 2x^3 + 5x\) в нормален вид и го подредете по намаляващи степени на \(x\). Намерете коефициента на члена от втора степен.
Привеждаме: \(B = (5x^3 - 2x^3) + 2x^2 + (5x -3x) - 7 = 3x^3 + 2x^2 + 2x - 7\).
Многочленът вече е подреден по намаляващи степени.
Отговор: Коефициентът на члена от втора степен (\(x^2\)) е \(2\).
Многочленът вече е подреден по намаляващи степени.
Отговор: Коефициентът на члена от втора степен (\(x^2\)) е \(2\).
Трудна: Даден е многочленът \(P = 4a^2b - 2ab^2 + a - 3a^2b + 5ab^2 - 1\). Приведете го в нормален вид и определете степента му.
Привеждаме подобните членове: \(P = (4a^2b - 3a^2b) + (-2ab^2 + 5ab^2) + a - 1\).
Нормален вид: \(P = a^2b + 3ab^2 + a - 1\).
Определяме степените на членовете:
Отговор: Многочленът е от трета степен.
Нормален вид: \(P = a^2b + 3ab^2 + a - 1\).
Определяме степените на членовете:
- \(a^2b \rightarrow\) степен \(2+1=3\)
- \(3ab^2 \rightarrow\) степен \(1+2=3\)
- \(a \rightarrow\) степен 1
- \(-1 \rightarrow\) степен 0
Отговор: Многочленът е от трета степен.
