Най-важното от урока
Вписан ъгъл: Връх на окръжността, рамене са хорди. Мярката му е \(\frac{1}{2}\) от съответната дъга. (Пример: дъга \(120^\circ \Rightarrow\) ъгъл \(60^\circ\)).
Ъгъл в полуокръжност: Винаги е \(90^\circ\), защото отсича дъга от \(180^\circ\).
Еднакви дъги и хорди: Равни хорди \(\Leftrightarrow\) Равни дъги. По-голяма хорда \(\Leftrightarrow\) По-голяма дъга.
Ъгъл в полуокръжност: Винаги е \(90^\circ\), защото отсича дъга от \(180^\circ\).
Еднакви дъги и хорди: Равни хорди \(\Leftrightarrow\) Равни дъги. По-голяма хорда \(\Leftrightarrow\) По-голяма дъга.
Ъгъл, чийто връх лежи на окръжност, а раменете му са хорди в същата окръжност, се нарича вписан ъгъл. Дъгата, заключена между раменете му, се нарича негова съответна дъга.
Мярката на вписания ъгъл е равна на половината от мярката на съответната му дъга.
\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC} \]
Вписаният \(\angle MNK\) е \(35^\circ\). Намерете мярката на съответната му дъга \(\overset{\frown}{MK}\).
Дъгата е два пъти по-голяма от вписания ъгъл.
\(\overset{\frown}{MK} = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
\(\overset{\frown}{MK} = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
Всички вписани ъгли, които отсичат една и съща дъга, са равни помежду си.
Вписан ъгъл, чиито рамене минават през краищата на диаметър, е прав (равен на \(90^\circ\)). Това е така, защото той отсича дъга от \(180^\circ\) (полуокръжност).
Дъгата \(\overset{\frown}{PQ}\) е \(88^\circ\). Точките \(M\) и \(N\) са от голямата дъга \(\overset{\frown}{PQ}\). Каква е мярката на \(\angle PMQ\) и \(\angle PNQ\)?
И двата ъгъла отсичат дъгата \(\overset{\frown}{PQ}\), следователно са равни на половината от нейната мярка.
\(\angle PMQ = \angle PNQ = \frac{1}{2} \cdot 88^\circ = 44^\circ\).
\(\angle PMQ = \angle PNQ = \frac{1}{2} \cdot 88^\circ = 44^\circ\).
В една и съща окръжност (или в равни окръжности):
- На равни хорди съответстват равни дъги.
- На по-голяма хорда съответства по-голяма дъга.
- На по-голяма дъга съответства по-голяма хорда.
В окръжност е дадено, че \(\overset{\frown}{MN} = \overset{\frown}{PQ}\). Ако дължината на хордата \(MN\) е 7 см, каква е дължината на хордата \(PQ\)?
Тъй като на равни дъги съответстват равни хорди, то \(PQ = MN = 7\) см.
Задачи за упражнение
Лесна: В окръжност \(k\) е дадена дъгата \(\overset{\frown}{AB} = 110^\circ\). Намерете големината на вписания \(\angle ACB\).
\(\angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ\).
Средна: Хордата \(AB\) е диаметър на окръжност \(k\). Точката \(M\) лежи на окръжността. Ако \(\angle MAB = 40^\circ\), намерете големината на \(\angle AMB\) и \(\angle ABM\).
1. Тъй като \(AB\) е диаметър, \(\angle AMB\) е вписан в полуокръжност, следователно \(\angle AMB = 90^\circ\).
2. Сборът на ъглите в \(\triangle AMB\) е \(180^\circ\).
3. \(\angle ABM = 180^\circ - (\angle AMB + \angle MAB) = 180^\circ - (90^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
Отговор: \(\angle AMB = 90^\circ\) и \(\angle ABM = 50^\circ\).
2. Сборът на ъглите в \(\triangle AMB\) е \(180^\circ\).
3. \(\angle ABM = 180^\circ - (\angle AMB + \angle MAB) = 180^\circ - (90^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
Отговор: \(\angle AMB = 90^\circ\) и \(\angle ABM = 50^\circ\).
Трудна: Точките \(A, B, C, D\) лежат на окръжност в този ред. Дъгите, които те образуват, са в отношение \(\overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{CD} : \overset{\frown}{DA} = 2:3:5:8\). Намерете ъглите на четириъгълника \(ABCD\).
1. Целият кръг е \(360^\circ\). Нека една част от отношението е \(x\).
\(2x + 3x + 5x + 8x = 360^\circ \Rightarrow 18x = 360^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\).
2. Намираме дъгите:
\(\overset{\frown}{AB} = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\)
\(\overset{\frown}{BC} = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ\)
\(\overset{\frown}{CD} = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ\)
\(\overset{\frown}{DA} = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ\)
3. Намираме ъглите на четириъгълника. Всеки ъгъл отсича дъга, съставена от две съседни дъги:
\(\angle DAB = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD}) = \frac{1}{2}(60^\circ + 100^\circ) = 80^\circ\)
\(\angle ABC = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{CD} + \overset{\frown}{DA}) = \frac{1}{2}(100^\circ + 160^\circ) = 130^\circ\)
\(\angle BCD = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{DA} + \overset{\frown}{AB}) = \frac{1}{2}(160^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\)
\(\angle CDA = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC}) = \frac{1}{2}(40^\circ + 60^\circ) = 50^\circ\)
\(2x + 3x + 5x + 8x = 360^\circ \Rightarrow 18x = 360^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\).
2. Намираме дъгите:
\(\overset{\frown}{AB} = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\)
\(\overset{\frown}{BC} = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ\)
\(\overset{\frown}{CD} = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ\)
\(\overset{\frown}{DA} = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ\)
3. Намираме ъглите на четириъгълника. Всеки ъгъл отсича дъга, съставена от две съседни дъги:
\(\angle DAB = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD}) = \frac{1}{2}(60^\circ + 100^\circ) = 80^\circ\)
\(\angle ABC = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{CD} + \overset{\frown}{DA}) = \frac{1}{2}(100^\circ + 160^\circ) = 130^\circ\)
\(\angle BCD = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{DA} + \overset{\frown}{AB}) = \frac{1}{2}(160^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\)
\(\angle CDA = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC}) = \frac{1}{2}(40^\circ + 60^\circ) = 50^\circ\)
