Най-важното от урока
Ортоцентър (\(H\)): Пресечната точка на височините в триъгълник.
Местоположение:
Местоположение:
- Вътре в остроъгълен \(\Delta\).
- При върха на правия ъгъл в правоъгълен \(\Delta\).
- Извън тъпоъгълен \(\Delta\).
Пресечната точка на трите прави, върху които лежат височините на един триъгълник, се нарича ортоцентър. Стандартно се означава с буквата \(H\).
Даден е \(\Delta ABC\) с височини \(h_a\), \(h_b\) и \(h_c\). Какво представлява тяхната пресечна точка?
Отговор: Пресечната точка на височините е ортоцентърът на триъгълника.
Местоположението на ортоцентъра \(H\) зависи от вида на триъгълника.
- В остроъгълен триъгълник ортоцентърът е вътрешна точка.
- В правоъгълен триъгълник ортоцентърът съвпада с върха на правия ъгъл.
- В тъпоъгълен триъгълник ортоцентърът е външна точка.
В правоъгълен \(\Delta ABC\) с прав ъгъл при върха \(C\), катетите \(AC\) и \(BC\) са и височини съответно към страните \(BC\) и \(AC\). Тъй като те се пресичат в точка \(C\), ортоцентърът \(H\) съвпада с върха \(C\).
Къде се намира ортоцентърът на триъгълник с ъгли \(110^\circ, 40^\circ, 30^\circ\)?
Отговор: Тъй като триъгълникът има ъгъл \(110^\circ > 90^\circ\), той е тъпоъгълен. Следователно ортоцентърът е външна точка за триъгълника.
Съществува важна връзка между ортоцентъра \(H\), центъра на описаната окръжност \(O\) и върховете \(A, B, C\) на триъгълника, която се изразява с векторно равенство.
Ако центърът на описаната окръжност \(O\) е в началото на координатната система, тоест \(O(0, 0)\), тогава векторът \(\vec{OH}\) има същите координати като точка \(H\). В този случай координатите на ортоцентъра \(H(x_H, y_H)\) са сбор от координатите на върховете:
\[ x_H = x_A + x_B + x_C \]
\[ y_H = y_A + y_B + y_C \]
В \(\Delta ABC\), центърът на описаната окръжност \(O\) е в началото на координатната система. Върховете имат координати \(A(4, 2)\), \(B(-1, 5)\) и \(C(-3, -4)\). Намерете координатите на ортоцентъра \(H\).
Прилагаме формулата \(\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\).
Координатите на \(H\) са \((x_A + x_B + x_C, y_A + y_B + y_C)\).
\(x_H = 4 + (-1) + (-3) = 4 - 1 - 3 = 0\)
\(y_H = 2 + 5 + (-4) = 7 - 4 = 3\)
Отговор: \(H(0, 3)\).
Координатите на \(H\) са \((x_A + x_B + x_C, y_A + y_B + y_C)\).
\(x_H = 4 + (-1) + (-3) = 4 - 1 - 3 = 0\)
\(y_H = 2 + 5 + (-4) = 7 - 4 = 3\)
Отговор: \(H(0, 3)\).
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен \(\Delta ABC\) с хипотенуза \(AB\), къде се намира ортоцентърът \(H\)?
Отговор: Ортоцентърът на правоъгълен триъгълник съвпада с върха на правия ъгъл. В този случай това е връх \(C\).
Средна: Ортоцентърът \(H\) на \(\Delta ABC\) съвпада с върха \(B\). Какъв е видът на триъгълника и кой е правият му ъгъл?
Отговор: Щом ортоцентърът съвпада с връх, триъгълникът е правоъгълен. Правият ъгъл е при върха, с който съвпада ортоцентърът, т.е. \(\angle ABC = 90^\circ\).
Трудна: Даден е \(\Delta ABC\) с център на описаната окръжност \(O\) и ортоцентър \(H\). Ако \(H\) съвпада с \(O\), докажете, че триъгълникът е равностранен.
Ако \(H\) съвпада с \(O\), то векторът \(\vec{OH}\) е нулевият вектор.
От формулата \(\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\) следва, че \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}\).
Нека вземем скаларен квадрат на двете страни: \((\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})^2 = 0\).
\(|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 + 2(\vec{OA}\cdot\vec{OB} + \vec{OB}\cdot\vec{OC} + \vec{OC}\cdot\vec{OA}) = 0\).
Тъй като \(O\) е център на описаната окръжност, \(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R\) (радиусът).
\(3R^2 + 2(R^2\cos(\angle AOB) + R^2\cos(\angle BOC) + R^2\cos(\angle COA)) = 0\).
Централните ъгли са \(\angle AOB = 2\gamma\), \(\angle BOC = 2\alpha\), \(\angle COA = 2\beta\).
Равенството се свежда до \(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) + \cos(2\gamma) = -3/2\), което е възможно само ако \(\cos(2\alpha) = \cos(2\beta) = \cos(2\gamma) = -1/2\). Това означава \(2\alpha = 2\beta = 2\gamma = 120^\circ\), откъдето \(\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\).
Отговор: Триъгълникът е равностранен.
От формулата \(\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\) следва, че \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}\).
Нека вземем скаларен квадрат на двете страни: \((\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})^2 = 0\).
\(|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 + 2(\vec{OA}\cdot\vec{OB} + \vec{OB}\cdot\vec{OC} + \vec{OC}\cdot\vec{OA}) = 0\).
Тъй като \(O\) е център на описаната окръжност, \(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R\) (радиусът).
\(3R^2 + 2(R^2\cos(\angle AOB) + R^2\cos(\angle BOC) + R^2\cos(\angle COA)) = 0\).
Централните ъгли са \(\angle AOB = 2\gamma\), \(\angle BOC = 2\alpha\), \(\angle COA = 2\beta\).
Равенството се свежда до \(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) + \cos(2\gamma) = -3/2\), което е възможно само ако \(\cos(2\alpha) = \cos(2\beta) = \cos(2\gamma) = -1/2\). Това означава \(2\alpha = 2\beta = 2\gamma = 120^\circ\), откъдето \(\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\).
Отговор: Триъгълникът е равностранен.
