Най-важното от урока
Връзка ъгъл-дъга:
- Централен ъгъл = Дъгата. (Пример: дъга \(100^\circ \implies\) централен ъгъл \(100^\circ\)).
- Вписан/Периферен ъгъл = \(\frac{1}{2}\) Дъгата. (Пример: дъга \(100^\circ \implies\) вписан ъгъл \(50^\circ\)).
- Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разполовява.
- Вписан ъгъл, който "гледа" към диаметър, е винаги прав (\(90^\circ\)).
Радиус (r): Отсечка, свързваща центъра с точка от окръжността. Всички радиуси в една окръжност са равни.
Хорда: Отсечка, свързваща две точки от окръжността.
Диаметър (d): Хорда, която минава през центъра. Той е най-дългата хорда и е равен на два радиуса (\(d = 2r\)).
Ако радиусът на една окръжност е 7 см, то нейният диаметър е \(2 \cdot 7 = 14\) см.
Хорда в окръжност е с дължина 12 см. Радиусът на окръжността е 6 см. Каква е тази хорда?
Отговор: Хордата е диаметър, защото дължината ѝ е два пъти по-голяма от радиуса (\(12 = 2 \cdot 6\)).
Ако един диаметър е перпендикулярен на хорда, той я разполовява (дели я на две равни части) и разполовява съответните ѝ дъги.
Ако \(PQ \perp AB\), то \(AM = MB\) и \(\stackrel{\frown}{AP} = \stackrel{\frown}{PB}\).
Диаметър е перпендикулярен на хорда с дължина 18 см. Той я разделя на две равни отсечки, всяка с дължина \(18 : 2 = 9\) см.
В окръжност, диаметърът \(CD\) е перпендикулярен на хордата \(MN\). Ако дъгата \(\stackrel{\frown}{MN}\) е \(100^\circ\), на колко е равна дъгата \(\stackrel{\frown}{MC}\)?
Отговор: Тъй като диаметърът разполовява дъгата, \(\stackrel{\frown}{MC} = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{MN} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\).
Централен ъгъл е ъгъл с връх в центъра на окръжността и рамене - радиуси.
Мярката на централния ъгъл е равна на мярката на дъгата, която той отсича.
\[ \angle AOB = \stackrel{\frown}{AB} \]
Ако дъгата \(\stackrel{\frown}{AB}\) е \(55^\circ\), то централният ъгъл \(\angle AOB\) също е \(55^\circ\).
Централен ъгъл е \(110^\circ\). Колко е мярката на съответната му дъга?
Отговор: Дъгата е \(110^\circ\).
Вписан ъгъл е ъгъл с връх върху окръжността и рамене - хорди.
Мярката на вписания ъгъл е равна на половината от мярката на дъгата, която той отсича.
\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} \]
Всеки вписан ъгъл, който отсича диаметър (дъга от \(180^\circ\)), е прав ъгъл (\(90^\circ\)).
Ако дъгата \(\stackrel{\frown}{AB}\) е \(120^\circ\), то вписаният ъгъл \(\angle ACB\) е \(\frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).
Вписан ъгъл е \(40^\circ\). Каква е мярката на дъгата, която отсича?
Отговор: Дъгата е два пъти по-голяма от ъгъла: \(2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\).
Периферен ъгъл се образува от хорда и допирателна с обща точка върху окръжността.
Мярката на периферния ъгъл е равна на половината от мярката на дъгата, заключена между раменете му.
\[ \angle ATB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AT} \]
Ако дъгата \(\stackrel{\frown}{AT}\) е \(140^\circ\), то периферният ъгъл \(\angle ATB\) е \(\frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ\).
Ъгълът между хорда и допирателна е \(65^\circ\). Намерете мярката на съответната дъга.
Отговор: Дъгата е \(2 \cdot 65^\circ = 130^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дъгата \(\stackrel{\frown}{MN}\) е \(80^\circ\). Намерете мярката на централния \(\angle MON\) и вписания \(\angle MPN\), които отсичат същата дъга.
Централният ъгъл е равен на дъгата: \(\angle MON = 80^\circ\).
Вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата: \(\angle MPN = 80^\circ / 2 = 40^\circ\).
Вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата: \(\angle MPN = 80^\circ / 2 = 40^\circ\).
Средна: Точките \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на окръжност, като \(AC\) е диаметър. Ако \(\angle BAC = 35^\circ\), намерете \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\).
1. Тъй като \(\angle ABC\) е вписан ъгъл, който отсича диаметъра \(AC\), той е прав: \(\angle ABC = 90^\circ\).
2. Сборът на ъглите в \(\triangle ABC\) е \(180^\circ\).
3. \(\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
Отговор: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(\angle BCA = 55^\circ\).
2. Сборът на ъглите в \(\triangle ABC\) е \(180^\circ\).
3. \(\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
Отговор: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(\angle BCA = 55^\circ\).
Трудна: В окръжност с радиус 13 см е дадена хорда \(AB\). Разстоянието от центъра \(O\) до хордата е 5 см. Намерете дължината на хордата \(AB\).
1. Разстоянието от центъра до хордата е перпендикулярът \(OM\), където \(M\) е средата на \(AB\).
2. Разглеждаме правоъгълния \(\triangle OMA\) с хипотенуза \(OA\) (радиус) и катети \(OM\) и \(AM\).
3. От Питагорова теорема: \(OA^2 = OM^2 + AM^2\).
\(13^2 = 5^2 + AM^2\)
\(169 = 25 + AM^2\)
\(AM^2 = 144 \implies AM = 12\) см.
4. Тъй като \(M\) е средата на \(AB\), то \(AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 12 = 24\) см.
Отговор: Дължината на хордата е 24 см.
2. Разглеждаме правоъгълния \(\triangle OMA\) с хипотенуза \(OA\) (радиус) и катети \(OM\) и \(AM\).
3. От Питагорова теорема: \(OA^2 = OM^2 + AM^2\).
\(13^2 = 5^2 + AM^2\)
\(169 = 25 + AM^2\)
\(AM^2 = 144 \implies AM = 12\) см.
4. Тъй като \(M\) е средата на \(AB\), то \(AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 12 = 24\) см.
Отговор: Дължината на хордата е 24 см.
