Най-важното от урока
Правилна пирамида: Пирамида с правилен многоъгълник за основа и връх, който се проектира в центъра на основата.
Ключови елементи: Височина (\(h\)), апотема на пирамидата (\(k\)), основен ръб (\(b\)).
Формула за обем: \( V = \frac{1}{3} B \cdot h \). Пример: Ако \(B=10\) и \(h=6\), то \(V=\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 6 = 20\).
Формули за повърхнина: \(S_1 = B + S\). За правилна пирамида \( S = \frac{P_B \cdot k}{2} \). Пример: Ако \(P_B=12, k=5, B=9\), то \(S=\frac{12 \cdot 5}{2}=30\) и \(S_1=30+9=39\).
Решаване на задачи: Ключът е в използването на правоъгълни триъгълници, свързващи \(h, k\), околен ръб и елементи на основата (апотема \(a\), радиус \(R\)).
Ключови елементи: Височина (\(h\)), апотема на пирамидата (\(k\)), основен ръб (\(b\)).
Формула за обем: \( V = \frac{1}{3} B \cdot h \). Пример: Ако \(B=10\) и \(h=6\), то \(V=\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 6 = 20\).
Формули за повърхнина: \(S_1 = B + S\). За правилна пирамида \( S = \frac{P_B \cdot k}{2} \). Пример: Ако \(P_B=12, k=5, B=9\), то \(S=\frac{12 \cdot 5}{2}=30\) и \(S_1=30+9=39\).
Решаване на задачи: Ключът е в използването на правоъгълни триъгълници, свързващи \(h, k\), околен ръб и елементи на основата (апотема \(a\), радиус \(R\)).
Пирамидата е многостен с основа многоъгълник, а околните му стени са триъгълници с общ връх.
Височина (h) на пирамида е перпендикулярната отсечка от върха на пирамидата до равнината на основата.
Колко околни стени има една седмоъгълна пирамида?
Отговор: Седем, тъй като всяка страна на седмоъгълната основа е основа на една околна стена (триъгълник).
Пирамида се нарича правилна, ако основата ѝ е правилен многоъгълник, а проекцията на върха ѝ съвпада с центъра на основата.
Свойства на правилната пирамида:
- Околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
- Околните ръбове са равни по дължина.
- Височините на околните стени, спуснати от върха на пирамидата, са равни.
Апотема на правилна пирамида (k) се нарича височината на коя да е нейна околна стена, спусната от върха на пирамидата.
В правилна триъгълна пирамида, какъв вид е основата?
Отговор: Основата е равностранен триъгълник.
Лице на околна повърхнина (S) е сборът от лицата на околните стени.
Лице на пълна повърхнина (S₁) е сборът от лицето на околната повърхнина и лицето на основата (B).
\[ S_1 = S + B \]
За правилна пирамида:
\[ S = \frac{P_B \cdot k}{2} \]
където \(P_B\) е периметърът на основата, а \(k\) е апотемата на пирамидата.
Правилна четириъгълна пирамида има периметър на основата \(P_B = 20\) cm и апотема \(k = 8\) cm. Лицето на основата е \(B = 25\) cm².
Околна повърхнина: \( S = \frac{20 \cdot 8}{2} = 80 \) cm².
Пълна повърхнина: \( S_1 = S + B = 80 + 25 = 105 \) cm².
Околна повърхнина: \( S = \frac{20 \cdot 8}{2} = 80 \) cm².
Пълна повърхнина: \( S_1 = S + B = 80 + 25 = 105 \) cm².
Намерете пълната повърхнина на правилна триъгълна пирамида с периметър на основата \(P_B = 15\) cm, апотема \(k = 10\) cm и лице на основата \(B = 10.8\) cm².
\(S = \frac{P_B \cdot k}{2} = \frac{15 \cdot 10}{2} = 75\) cm².
\(S_1 = S + B = 75 + 10.8 = 85.8\) cm².
\(S_1 = S + B = 75 + 10.8 = 85.8\) cm².
Обемът на всяка пирамида се намира като една трета от произведението на лицето на основата и височината на пирамидата.
\[ V = \frac{1}{3} B \cdot h \]
където \(B\) е лицето на основата, а \(h\) е височината на пирамидата.
Пирамида има лице на основата \(B = 30\) cm² и височина \(h = 7\) cm.
Обемът й е: \( V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70 \) cm³.
Обемът й е: \( V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70 \) cm³.
Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 3 cm и височина 5 cm.
Основата е квадрат, следователно лицето й е \(B = b^2 = 3^2 = 9\) cm².
\(V = \frac{1}{3} B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 5 = 15\) cm³.
\(V = \frac{1}{3} B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 5 = 15\) cm³.
Задачи за упражнение
Лесна: Правилна шестоъгълна пирамида има лице на основата \(B = 42 \text{ cm}^2\) и височина \(h = 10 \text{ cm}\). Намерете обема ѝ.
Използваме формулата за обем:
\[ V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot 42 \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140 \text{ cm}^3 \]
Отговор: Обемът е \(140 \text{ cm}^3\).
Средна: Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб \(b = 10 \text{ cm}\) и апотема на пирамидата \(k = 13 \text{ cm}\). Намерете височината \(h\) и пълната повърхнина \(S_1\) на пирамидата.
1. Намиране на височината \(h\):
Апотемата на основата (квадрат) е половината от основния ръб: \(a = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}\).
От правоъгълния триъгълник, образуван от \(h, a, k\), по Питагорова теорема:
\(h^2 + a^2 = k^2 \Rightarrow h^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow h^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12 \text{ cm}\).
2. Намиране на повърхнината \(S_1\): Лице на основата: \(B = b^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2\). Периметър на основата: \(P_B = 4b = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm}\). Околна повърхнина: \(S = \frac{P_B k}{2} = \frac{40 \cdot 13}{2} = 260 \text{ cm}^2\). Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 260 + 100 = 360 \text{ cm}^2\).
Отговор: \(h=12 \text{ cm}\), \(S_1 = 360 \text{ cm}^2\).
2. Намиране на повърхнината \(S_1\): Лице на основата: \(B = b^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2\). Периметър на основата: \(P_B = 4b = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm}\). Околна повърхнина: \(S = \frac{P_B k}{2} = \frac{40 \cdot 13}{2} = 260 \text{ cm}^2\). Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 260 + 100 = 360 \text{ cm}^2\).
Отговор: \(h=12 \text{ cm}\), \(S_1 = 360 \text{ cm}^2\).
Трудна: Основният ръб на правилна триъгълна пирамида е \(b = 6 \text{ cm}\), а околният ръб сключва ъгъл \(45^\circ\) с равнината на основата. Намерете обема на пирамидата.
1. Елементи на основата: Основата е равностранен триъгълник със страна \(b=6\).
Лицето на основата е \(B = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2\).
Радиусът на описаната окръжност е \(R = \frac{b\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}\).
2. Намиране на височината \(h\): Височината \(h\), околният ръб \(l\) и радиусът на описаната окръжност \(R\) образуват правоъгълен триъгълник. Даденият ъгъл от \(45^\circ\) е между \(l\) и \(R\). В този триъгълник имаме \(\operatorname{tg} 45^\circ = \frac{h}{R}\). Тъй като \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\), следва, че \(h = R\). Следователно \(h = 2\sqrt{3} \text{ cm}\).
3. Намиране на обема \(V\): \[ V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ cm}^3 \] Отговор: Обемът е \(18 \text{ cm}^3\).
2. Намиране на височината \(h\): Височината \(h\), околният ръб \(l\) и радиусът на описаната окръжност \(R\) образуват правоъгълен триъгълник. Даденият ъгъл от \(45^\circ\) е между \(l\) и \(R\). В този триъгълник имаме \(\operatorname{tg} 45^\circ = \frac{h}{R}\). Тъй като \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\), следва, че \(h = R\). Следователно \(h = 2\sqrt{3} \text{ cm}\).
3. Намиране на обема \(V\): \[ V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ cm}^3 \] Отговор: Обемът е \(18 \text{ cm}^3\).
