Най-важното от урока
Правоъгълен триъгълник: \( \sin = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}} \), \( \cos = \frac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}} \).
Единична окръжност: Точка \(M(x,y)\) на окръжността отговаря на ъгъл \(\alpha\), като \(x = \cos \alpha\) и \(y = \sin \alpha\).
Основно тъждество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Знаци за \(\alpha \in (90^\circ, 180^\circ]\): \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0\), \(\operatorname{tg} \alpha < 0\), \(\operatorname{cotg} \alpha < 0\).
Отношения: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
Единична окръжност: Точка \(M(x,y)\) на окръжността отговаря на ъгъл \(\alpha\), като \(x = \cos \alpha\) и \(y = \sin \alpha\).
Основно тъждество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Знаци за \(\alpha \in (90^\circ, 180^\circ]\): \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0\), \(\operatorname{tg} \alpha < 0\), \(\operatorname{cotg} \alpha < 0\).
Отношения: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
В правоъгълен триъгълник с катети \(a, b\) и хипотенуза \(c\), тригонометричните функции на остър ъгъл \(\alpha\) се дефинират като отношения между страните.
\[ \sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} \]
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b} \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} = \frac{b}{a} \]
Основно тригонометрично тъждество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
В правоъгълен триъгълник с катети \(a=3\) cm и \(b=4\) cm, хипотенузата \(c\) е \(5\) cm (от Питагорова теорема). За ъгъла \(\alpha\) срещу катета \(a\):
\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} \).
\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} \).
В правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(c=13\) и катет \(a=5\), намерете \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) (където \(\alpha\) е ъгълът срещу катета \(a\)).
Първо намираме другия катет \(b\) чрез Питагорова теорема: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\).
\( \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{13} \)
\( \cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{12}{13} \)
\( \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{13} \)
\( \cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{12}{13} \)
Единична окръжност е окръжност с център в началото на координатната система \(O(0,0)\) и радиус \(r=1\).
Тя позволява да се дефинират тригонометрични функции за произволен ъгъл. За всяка точка \(M(x, y)\) върху окръжността, която сключва ъгъл \(\alpha\) с положителната посока на оста \(Ox\), нейните координати са равни на \(x = \cos \alpha\) и \(y = \sin \alpha\).
Точката \(M\) на единичната окръжност, съответстваща на ъгъл \(\alpha = 90^\circ\), има координати \((0, 1)\). Следователно:
\( \cos 90^\circ = 0 \) (x-координатата)
\( \sin 90^\circ = 1 \) (y-координатата)
\( \cos 90^\circ = 0 \) (x-координатата)
\( \sin 90^\circ = 1 \) (y-координатата)
Какви са координатите на точката \(M\) от единичната окръжност, която съответства на ъгъл \(\alpha = 180^\circ\)?
За \(\alpha=180^\circ\), точката \(M\) лежи на отрицателната част на оста \(Ox\) на разстояние 1 от центъра. Координатите ѝ са \((-1, 0)\).
Следователно \( \cos 180^\circ = -1 \) и \( \sin 180^\circ = 0 \).
Следователно \( \cos 180^\circ = -1 \) и \( \sin 180^\circ = 0 \).
Знаците на функциите зависят от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла.
- Ъгъл \(\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]\) (I квадрант):
\( \sin \alpha \geq 0 \) (y-координатата е положителна)
\( \cos \alpha \geq 0 \) (x-координатата е положителна)
\( \operatorname{tg} \alpha \geq 0 \), \( \operatorname{cotg} \alpha \geq 0 \) - Ъгъл \(\alpha \in (90^\circ, 180^\circ]\) (II квадрант):
\( \sin \alpha \geq 0 \) (y-координатата е положителна)
\( \cos \alpha \leq 0 \) (x-координатата е отрицателна)
\( \operatorname{tg} \alpha \leq 0 \), \( \operatorname{cotg} \alpha \leq 0 \)
За ъгъл \( \alpha = 120^\circ \), той е във II квадрант. Следователно:
\( \sin 120^\circ > 0 \)
\( \cos 120^\circ < 0 \)
\( \operatorname{tg} 120^\circ < 0 \)
\( \sin 120^\circ > 0 \)
\( \cos 120^\circ < 0 \)
\( \operatorname{tg} 120^\circ < 0 \)
Определете знака на \( \cos 170^\circ \).
Ъгъл от 170° е във втори квадрант, където x-координатите са отрицателни. Следователно \( \cos 170^\circ < 0 \).
Тангенс и котангенс се дефинират като отношение съответно на синус към косинус и на косинус към синус.
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \text{за } \cos \alpha \neq 0 \quad (\alpha \neq 90^\circ) \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \text{за } \sin \alpha \neq 0 \quad (\alpha \neq 0^\circ, 180^\circ) \]
За да намерим \( \operatorname{tg} 60^\circ \), използваме стойностите за синус и косинус:
\[ \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]
Като знаете, че \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), намерете \( \operatorname{cotg} 45^\circ \).
\[ \operatorname{cotg} 45^\circ = \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( A = \sin 90^\circ + 2 \cos 0^\circ - \sin 180^\circ \).
Използваме стойностите: \( \sin 90^\circ = 1 \), \( \cos 0^\circ = 1 \), \( \sin 180^\circ = 0 \).
\( A = 1 + 2 \cdot 1 - 0 = 3 \).
\( A = 1 + 2 \cdot 1 - 0 = 3 \).
Средна: Известно е, че \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \) и \(\alpha \in [0^\circ; 180^\circ]\). Намерете \( \sin \alpha \) и \( \operatorname{tg} \alpha \).
От основното тъждество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \).
\( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} \).
Тъй като косинусът е отрицателен, ъгълът е във втори квадрант (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)). В този интервал синусът е положителен, следователно \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \).
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} \).
\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \).
\( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} \).
Тъй като косинусът е отрицателен, ъгълът е във втори квадрант (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)). В този интервал синусът е положителен, следователно \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \).
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} \).
Трудна: Определете вида на триъгълник \(ABC\) (остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен), ако ъглите му \(\alpha, \beta, \gamma\) са такива, че \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) и \( \cos \beta = \frac{5}{13} \).
Тъй като \( \cos \alpha > 0 \) и \( \cos \beta > 0 \), то ъглите \(\alpha\) и \(\beta\) са остри.
Трябва да определим знака на \( \cos \gamma \).
\( \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \). Следователно \( \cos \gamma = \cos(180^\circ - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha+\beta) \).
Използваме формулата \( \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \).
Намираме \(\sin \alpha\) и \(\sin \beta\). Тъй като ъглите са остри, синусите са положителни.
\( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{9/25} = 3/5 \).
\( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (5/13)^2} = \sqrt{144/169} = 12/13 \).
\( \cos(\alpha+\beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65} \).
Тогава \( \cos \gamma = - \cos(\alpha+\beta) = -(-\frac{16}{65}) = \frac{16}{65} \).
Тъй като \( \cos \gamma > 0 \), ъгъл \(\gamma\) също е остър. Всички ъгли са остри, следователно триъгълникът е остроъгълен.
Трябва да определим знака на \( \cos \gamma \).
\( \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \). Следователно \( \cos \gamma = \cos(180^\circ - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha+\beta) \).
Използваме формулата \( \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \).
Намираме \(\sin \alpha\) и \(\sin \beta\). Тъй като ъглите са остри, синусите са положителни.
\( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{9/25} = 3/5 \).
\( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (5/13)^2} = \sqrt{144/169} = 12/13 \).
\( \cos(\alpha+\beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65} \).
Тогава \( \cos \gamma = - \cos(\alpha+\beta) = -(-\frac{16}{65}) = \frac{16}{65} \).
Тъй като \( \cos \gamma > 0 \), ъгъл \(\gamma\) също е остър. Всички ъгли са остри, следователно триъгълникът е остроъгълен.
