Най-важното от урока
Синусова теорема: Използва се за намиране на страни, ъгли или радиус на описана окръжност. Свързва страна със срещулежащия ѝ ъгъл. Пример: ако \(a=5, \alpha=30^\circ\), то \(2R = 5/\sin30^\circ = 10\).
Косинусова теорема: Използва се за намиране на страна при дадени две други и ъгъл между тях, или за намиране на ъгъл при дадени три страни. Пример: ако \(a=3, b=5, \gamma=120^\circ\), то \(c^2 = 3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ = 49\), откъдето \(c=7\).
Формули за лице: Най-често се използват формулата с две страни и синус на ъгъл между тях (\(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)) и Хероновата формула (когато са дадени трите страни). От лицето могат да се намерят височини и радиуси.
Косинусова теорема: Използва се за намиране на страна при дадени две други и ъгъл между тях, или за намиране на ъгъл при дадени три страни. Пример: ако \(a=3, b=5, \gamma=120^\circ\), то \(c^2 = 3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ = 49\), откъдето \(c=7\).
Формули за лице: Най-често се използват формулата с две страни и синус на ъгъл между тях (\(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)) и Хероновата формула (когато са дадени трите страни). От лицето могат да се намерят височини и радиуси.
Отношенията на всяка страна към синуса на срещулежащия ѝ ъгъл са равни и са равни на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност (\(2R\)).
В \(\triangle ABC\) са дадени \(c = 7\) cm и \(\gamma = 60^\circ\). Намерете радиуса \(R\) на описаната окръжност.
От синусовата теорема: \( \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \). \[ 2R = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \]
От синусовата теорема: \( \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \). \[ 2R = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \]
В \(\triangle ABC\) са дадени \(a=10\) cm и \(R=10\) cm. Намерете ъгъл \(\alpha\).
\(\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \Rightarrow \frac{10}{\sin \alpha} = 2 \cdot 10 \Rightarrow \frac{10}{\sin \alpha} = 20 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\).
Отговор: \(\alpha = 30^\circ\) или \(\alpha = 150^\circ\).
Отговор: \(\alpha = 30^\circ\) или \(\alpha = 150^\circ\).
Квадратът на една от страните на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни, намален с удвоеното им произведение, умножено по косинуса на ъгъла между тях.
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]
От теоремата може да се изрази косинусът на ъгъл, ако са известни трите страни:
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
Даден е \(\triangle ABC\) със страни \(a=5\), \(b=8\) и \(\gamma = 60^\circ\). Намерете страната \(c\).
\[ c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 60^\circ \]
\[ c^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \]
\[ c = 7 \]
В \(\triangle ABC\) страните са \(a=3\), \(b=5\) и \(c=7\). Намерете ъгъл \(\gamma\).
\(\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9+25-49}{30} = \frac{-15}{30} = -0.5\).
Отговор: \(\gamma = 120^\circ\).
Отговор: \(\gamma = 120^\circ\).
Лицето на триъгълник може да бъде намерено по няколко начина, в зависимост от дадените елементи.
Чрез две страни и ъгъл между тях:
\[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]Херонова формула (чрез три страни):
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \text{ където } p = \frac{a+b+c}{2} \text{ (полупериметър)} \]Чрез радиуси на вписана/описана окръжност:
\[ S = p \cdot r \quad \text{и} \quad S = \frac{abc}{4R} \]
Намерете лицето на \(\triangle ABC\) със страни \(a=15, b=13, c=14\).
1. Намираме полупериметъра: \(p = \frac{15+13+14}{2} = \frac{42}{2} = 21\).
2. Прилагаме Хероновата формула: \[ S = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2 \]
1. Намираме полупериметъра: \(p = \frac{15+13+14}{2} = \frac{42}{2} = 21\).
2. Прилагаме Хероновата формула: \[ S = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2 \]
Даден е \(\triangle ABC\) със страни \(b=12\), \(c=10\) и \(\alpha = 30^\circ\). Намерете лицето му.
\(S = \frac{1}{2} bc \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 30\).
Отговор: \(S = 30\) кв. ед.
Отговор: \(S = 30\) кв. ед.
Дължините на медианите и ъглополовящите могат да бъдат изчислени, ако са известни страните на триъгълника.
Медиана към страна \(c\):
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]Ъглополовяща към страна \(c\):
\[ l_c^2 = ab - \frac{ab c^2}{(a+b)^2} \]
В \(\triangle ABC\) са дадени \(a=4, b=6, \gamma = 120^\circ\). Намерете ъглополовящата \(l_c\).
1. Използваме метода с лицата: \(S_{ABC} = S_{ALC} + S_{BLC}\).
\( S_{ABC} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ = 12 \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \).
\( S_{ALC} = \frac{1}{2} b \cdot l_c \sin(\gamma/2) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot l_c \sin 60^\circ = 3 l_c \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( S_{BLC} = \frac{1}{2} a \cdot l_c \sin(\gamma/2) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot l_c \sin 60^\circ = 2 l_c \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} l_c \).
\( 6\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}l_c + \sqrt{3}l_c \Rightarrow 6 = \frac{5}{2}l_c \Rightarrow l_c = \frac{12}{5} = 2.4 \).
1. Използваме метода с лицата: \(S_{ABC} = S_{ALC} + S_{BLC}\).
\( S_{ABC} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ = 12 \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \).
\( S_{ALC} = \frac{1}{2} b \cdot l_c \sin(\gamma/2) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot l_c \sin 60^\circ = 3 l_c \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( S_{BLC} = \frac{1}{2} a \cdot l_c \sin(\gamma/2) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot l_c \sin 60^\circ = 2 l_c \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} l_c \).
\( 6\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}l_c + \sqrt{3}l_c \Rightarrow 6 = \frac{5}{2}l_c \Rightarrow l_c = \frac{12}{5} = 2.4 \).
Даден е триъгълник със страни \(a=7, b=8, c=9\). Намерете дължината на медианата към страната \(c\).
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 8^2 - 9^2} \]
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 64 - 81} = \frac{1}{2} \sqrt{98 + 128 - 81} = \frac{1}{2} \sqrt{145} \]
Отговор: \(m_c = \frac{\sqrt{145}}{2}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете страната \(c\) в \(\triangle ABC\), ако \(a=5, b=3\) и \(\gamma = 60^\circ\).
Прилагаме косинусова теорема:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma \]
\[ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19 \]
Отговор: \(c = \sqrt{19}\).
Средна: В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(a=8\), \(b=7\) и \(c=5\). Намерете радиуса \(r\) на вписаната окръжност.
\(p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+7+5}{2} = \frac{20}{2} = 10\).
\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{10(10-8)(10-7)(10-5)}\)
\(S = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\).
\(S = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\).
\(10\sqrt{3} = 10 \cdot r \Rightarrow r = \sqrt{3}\).
Отговор: \(r = \sqrt{3}\).
Трудна: В \(\triangle ABC\), \(AC=5\), \(AB=7\) и \(\angle ACB = 60^\circ\). Намерете разстоянието от центъра \(O\) на описаната окръжност до страната \(BC\).
Отговор: Разстоянието е \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \Rightarrow 7^2 = a^2 + 5^2 - 2 \cdot a \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ \]
\[ 49 = a^2 + 25 - 5a \Rightarrow a^2 - 5a - 24 = 0 \]
Решенията са \(a=8\) и \(a=-3\). Тъй като страната е положителна, \(BC=a=8\).
\[ \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \Rightarrow \frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R \Rightarrow R = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \]
Разстоянието от центъра \(O\) до хордата \(BC\) е \(OM = \sqrt{R^2 - (\frac{BC}{2})^2}\).
\[ OM^2 = R^2 - (\frac{a}{2})^2 = \left(\frac{7\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2 = \frac{49 \cdot 3}{9} - 4^2 = \frac{49}{3} - 16 \]
\[ OM^2 = \frac{49 - 48}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow OM = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
