Най-важното от урока
Основно тъждество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Позволява да намериш \(\sin\alpha\), ако знаеш \(\cos\alpha\), и обратно.
Тангенс и котангенс: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \).
Формули за съседни ъгли: Полезни за пресмятане на стойности за ъгли над 90°.
Пример: \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Пример: \( \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Знаци в интервала \((90^\circ; 180^\circ)\): Синусът е положителен (\(+\)), а косинус, тангенс и котангенс са отрицателни (\(-\)).
Тангенс и котангенс: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \).
Формули за съседни ъгли: Полезни за пресмятане на стойности за ъгли над 90°.
Пример: \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Пример: \( \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Знаци в интервала \((90^\circ; 180^\circ)\): Синусът е положителен (\(+\)), а косинус, тангенс и котангенс са отрицателни (\(-\)).
Това е най-важната връзка между синус и косинус на един и същи ъгъл \(\alpha\). Тя е валидна за всеки ъгъл \(\alpha \in [0^\circ; 180^\circ]\).
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
От това тъждество можем да намерим \(\sin\alpha\), ако знаем \(\cos\alpha\), и обратно. В интервала \([0^\circ; 180^\circ]\) синусът е винаги неотрицателен (\(\sin\alpha \ge 0\)), но косинусът е положителен за \(\alpha \in [0^\circ; 90^\circ)\) и отрицателен за \(\alpha \in (90^\circ; 180^\circ]\).
Ако \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) и \(\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)\), то \(\cos \alpha\) е отрицателен.
\[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \]
Намерете \(\sin\alpha\), ако \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\) и \(\alpha \in [0^\circ; 90^\circ]\).
Тъй като \(\alpha \in [0^\circ; 180^\circ]\), \(\sin\alpha \ge 0\).
\[ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \]
Тези формули свързват стойностите на тригонометричните функции на ъгъл \(\alpha\) със стойностите на неговия съседен ъгъл \(180^\circ - \alpha\).
- \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \)
- \( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \)
- \( \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \)
- \( \operatorname{cotg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{cotg}\alpha \)
Да се изчисли \(\cos 150^\circ\).
\[ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Намерете стойността на \(\operatorname{tg} 120^\circ\).
\[ \operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3} \]
Тези формули преобразуват една тригонометрична функция в нейната "ко"-функция (\(\sin \leftrightarrow \cos\), \(\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{cotg}\)).
- \( \sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha \)
- \( \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha \)
- \( \operatorname{tg}(90^\circ + \alpha) = -\operatorname{cotg}\alpha \)
- \( \operatorname{cotg}(90^\circ + \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \)
Да се изчисли \(\sin 120^\circ\).
\[ \sin 120^\circ = \sin(90^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Намерете стойността на \(\cos 135^\circ\).
\[ \cos 135^\circ = \cos(90^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Тангенс и котангенс се изразяват чрез синус и косинус и са реципрочни една на друга.
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1 \]
Тези формули са дефинирани, когато знаменателят е различен от нула.
Ако \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) (за \(\alpha = 135^\circ\)), то:
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = -1 \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{-1} = -1 \]
Ако \(\operatorname{tg}\alpha = -2\), на колко е равно \(\operatorname{cotg}\alpha\)?
\[ \operatorname{cotg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = -\frac{1}{2} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \(1 - \sin^2 15^\circ\).
От основното тригонометрично тъждество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) следва \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
Отговор: \( \cos^2 15^\circ \).
Отговор: \( \cos^2 15^\circ \).
Средна: Намерете стойностите на \(\sin\alpha\) и \(\operatorname{tg}\alpha\), ако \(\cos\alpha = -\frac{12}{13}\) и \(\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)\).
1. Намираме \(\sin\alpha\). В този интервал \(\sin\alpha > 0\).
\[ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \]
2. Намираме \(\operatorname{tg}\alpha\).
\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} \]
Трудна: Докажете тъждеството \( \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \) за \(\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)\).
Умножаваме "на кръст", за да се освободим от знаменателите:
\[ \sin\alpha \cdot \sin\alpha = (1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha) \]
\[ \sin^2\alpha = 1^2 - \cos^2\alpha \]
\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \]
Прехвърляме \(\cos^2\alpha\) отляво:
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
Получихме основното тригонометрично тъждество, което е вярно за всяко \(\alpha\). Следователно и изходното тъждество е вярно.
