Най-важното от урока
За успешното решаване на задачи с прави прими и правоъгълни паралелепипеди е важно да комбинирате основните формули с планиметрични знания:
- Основни формули: Околна повърхнина \(S_P = P \cdot h\), Пълна повърхнина \(S_1 = S_P + 2B\), Обем \(V = B \cdot h\).
- Пространствен Питагор: За правоъгълен паралелепипед винаги е в сила \(D^2 = a^2 + b^2 + c^2\).
- Проекции и ъгли: Ъгълът между диагонал и основа се пресмята чрез правоъгълния триъгълник, заключен между телесния диагонал, височината и диагонала на основата.
- Нестандартни основи: Използвайте Херонова формула за лице на разностранен триъгълник или разделяйте основата на познати фигури.
Правилната четириъгълна призма е права призма, чиято основа е квадрат. За намирането на нейните елементи често се налага използването на Питагоровата теорема в пространството.
Телесният диагонал на призмата (\(D\)), диагоналът на основата (\(d\)) и околният ръб (височината \(h\)) образуват правоъгълен триъгълник. Връзката между тях е:
\[ D^2 = d^2 + h^2 \]
Тъй като основата е квадрат със страна \(a\):
\( B = a^2 \)
\( d = a\sqrt{2} \)
\( S_P = 4a \cdot h \)
\( B = a^2 \)
\( d = a\sqrt{2} \)
\( S_P = 4a \cdot h \)
Дадена е правилна четириъгълна призма с основен ръб \(a = 3 \text{ cm}\) и телесен диагонал \(D = \sqrt{34} \text{ cm}\). За да намерим височината \(h\), първо намираме диагонала на основата:
\( d = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ cm}\).
След това прилагаме Питагоровата теорема:
\( h^2 = D^2 - d^2 = (\sqrt{34})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 34 - 18 = 16 \).
Следователно \( h = 4 \text{ cm}\).
Когато основата на призмата е разностранен триъгълник с известни дължини на трите страни, лицето на основата най-удобно се пресмята чрез Хероновата формула.
Херонова формула за лице на триъгълник:
\[ B = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
където \(p = \frac{a+b+c}{2}\) е полупериметърът на основата.
1. Намираме полупериметъра на основата \(p\).
2. Изчисляваме лицето на основата \(B\) чрез Хероновата формула.
3. Използваме \(B\) в общите формули за обем (\(V = B \cdot h\)) и повърхнина (\(S_1 = P \cdot h + 2B\)).
2. Изчисляваме лицето на основата \(B\) чрез Хероновата формула.
3. Използваме \(B\) в общите формули за обем (\(V = B \cdot h\)) и повърхнина (\(S_1 = P \cdot h + 2B\)).
Ако основата на права призма е триъгълник със страни 5 cm, 5 cm и 6 cm, то \(p = \frac{5+5+6}{2} = 8 \text{ cm}\).
Лицето на основата е \( B = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}^2 \).
Ако обемът на тази призма е \(120 \text{ cm}^3\), то нейната височина е \(h = \frac{V}{B} = \frac{120}{12} = 10 \text{ cm}\).
При правоъгълния паралелепипед всички стени са правоъгълници. Често в задачите се задават ъгли между телесния диагонал и различни равнини или прави.
Дължина на телесен диагонал: Квадратът на телесния диагонал е равен на сбора от квадратите на трите му измерения:
\[ D^2 = a^2 + b^2 + c^2 \]
Ъгъл между диагонал и равнината на основата: Това е ъгълът между самия диагонал и неговата ортогонална проекция върху основата (която съвпада с диагонала на основата). Този ъгъл се намира в правоъгълния триъгълник, образуван от телесния диагонал, диагонала на основата и височината.
Ъгъл между диагонал и основен ръб: Разглежда се правоъгълният триъгълник, съдържащ телесния диагонал, съответния основен ръб и диагонала на прилежащата стена. (Напр. ъгълът между телесния диагонал и ръба \(a\) се използва чрез \(\cos\alpha = \frac{a}{D}\)).
Правоъгълен паралелепипед има основни ръбове \(a=3\) и \(b=4\). Телесният диагонал сключва ъгъл \(45^\circ\) с равнината на основата.
Диагоналът на основата е \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).
В получения правоъгълен триъгълник с ъгъл \(45^\circ\) катетите са равни, следователно височината \(c = d = 5\).
Диагоналът на основата е \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).
В получения правоъгълен триъгълник с ъгъл \(45^\circ\) катетите са равни, следователно височината \(c = d = 5\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете обема и дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед с измерения 2 cm, 3 cm и 6 cm.
Използваме формулата за обем:
\[ V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36 \text{ cm}^3 \]
Използваме формулата за телесен диагонал:
\[ D^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49 \]
\[ D = \sqrt{49} = 7 \text{ cm} \]
Отговор: \(V = 36 \text{ cm}^3\), \(D = 7 \text{ cm}\)
Средна: Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm. Височината на призмата е 10 cm. Намерете пълната повърхнина на призмата.
Първо намираме хипотенузата на основата по Питагорова теорема:
\[ c_{осн} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \text{ cm} \]
Периметърът на основата е \( P = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ cm} \).
Лицето на основата е \( B = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2 \).
Околната повърхнина е:
\[ S_P = P \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^2 \]
Пълната повърхнина е:
\[ S_1 = S_P + 2B = 240 + 2 \cdot 24 = 288 \text{ cm}^2 \]
Отговор: \(S_1 = 288 \text{ cm}^2\)
Трудна: В правилна четириъгълна призма телесният диагонал има дължина 8 cm и сключва с равнината на основата ъгъл от \(30^\circ\). Намерете обема на призмата.
Нека височината е \(h\), а диагоналът на основата е \(d\). В правоъгълния триъгълник, образуван от тях и телесния диагонал (\(D=8\)), имаме ъгъл \(30^\circ\) срещу катета \(h\).
Следователно височината е половината от хипотенузата:
\[ h = \frac{D}{2} = 4 \text{ cm} \]
Намираме диагонала на основата чрез Питагорова теорема (или косинус):
\[ d = \sqrt{D^2 - h^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm} \]
Тъй като основата е квадрат с диагонал \(d\), нейното лице \(B\) може да се намери директно по формулата за лице на квадрат чрез диагонал:
\[ B = \frac{d^2}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2 \]
Обемът е:
\[ V = B \cdot h = 24 \cdot 4 = 96 \text{ cm}^3 \]
Отговор: \(V = 96 \text{ cm}^3\)
