Най-важното от урока
Геометрична прогресия: Редица, в която всеки член е получен от предходния чрез умножение с константа. Пример: \(3, 6, 12, 24, \dots\).
Частно (q): Константата, с която се умножава. Намира се като \(q = \frac{\text{следващ член}}{\text{текущ член}}\). Пример: \(q = 6/3 = 2\).
Формула за n-ти член: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Позволява да се намери всеки член от редицата. Пример: за \(a_1=3, q=2\), десетият член е \(a_{10} = 3 \cdot 2^{9}\).
Частно (q): Константата, с която се умножава. Намира се като \(q = \frac{\text{следващ член}}{\text{текущ член}}\). Пример: \(q = 6/3 = 2\).
Формула за n-ти член: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Позволява да се намери всеки член от редицата. Пример: за \(a_1=3, q=2\), десетият член е \(a_{10} = 3 \cdot 2^{9}\).
Геометрична прогресия е числова редица, в която всеки следващ член се получава, като предходният се умножи с едно и също постоянно число.
Означаваме я със знака \(\div\div\). Пример: \(\div\div a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\).
Редицата \(2, 6, 18, 54, \dots\) е геометрична прогресия, защото всеки следващ член е 3 пъти по-голям от предходния (\(2 \cdot 3 = 6\), \(6 \cdot 3 = 18\) и т.н.).
Редицата \(5, 10, 15, 20, \dots\) геометрична прогресия ли е?
Отговор: Не. За да получим 10 от 5, умножаваме по 2. За да получим 15 от 10, умножаваме по 1.5. Тъй като числото не е постоянно, редицата не е геометрична прогресия (тя е аритметична).
Постоянното число, с което умножаваме, за да получим следващия член, се нарича частно на прогресията и се означава с \(q\).
\[ q = \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
Частното се намира, като разделим кой да е член на предходния му.
За прогресията \(3, -6, 12, -24, \dots\) частното е:
\[ q = \frac{-6}{3} = -2 \]
Проверка: \(12 / (-6) = -2\).
Намерете частното на прогресията \(100, 50, 25, \dots\).
\(q = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\) или \(0.5\).
Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член на прогресията, ако знаем първия член (\(a_1\)) и частното (\(q\)).
\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
където \(n\) е номерът на члена, който търсим.
Да намерим 7-ия член (\(a_7\)) на прогресия с \(a_1 = 3\) и \(q = 2\).
\[ a_7 = 3 \cdot 2^{7-1} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 \]
Намерете 5-ия член на геометрична прогресия с \(a_1 = 5\) и \(q = 2\).
\(a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80\).
Ако \(q = 1\), всички членове на прогресията са равни. Пример: \(\div\div 7, 7, 7, \dots\)
Ако \(q = -1\), членовете се редуват като две противоположни числа. Пример: \(\div\div 5, -5, 5, -5, \dots\)
Ако \(q = 0\), всички членове след първия са равни на нула. Пример: \(\div\div 5, 0, 0, 0, \dots\)
Напишете първите 4 члена на прогресия с \(a_1 = -10\) и \(q = -1\).
Редицата е: \(-10, 10, -10, 10, \dots\)
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете шестия член (\(a_6\)) на геометрична прогресия, ако \(a_1 = 2\) и \(q = 3\).
Прилагаме формулата за общия член: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).
\(a_6 = 2 \cdot 3^{6-1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486\).
Отговор: \(a_6 = 486\).
\(a_6 = 2 \cdot 3^{6-1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486\).
Отговор: \(a_6 = 486\).
Средна: За една геометрична прогресия са дадени \(a_1 = 4\) и \(a_4 = 108\). Намерете частното \(q\).
Използваме формулата \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) за \(n=4\).
\(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1}\)
\(108 = 4 \cdot q^3\)
\(q^3 = \frac{108}{4} = 27\)
\(q = \sqrt[3]{27} = 3\).
Отговор: \(q = 3\).
\(a_4 = a_1 \cdot q^{4-1}\)
\(108 = 4 \cdot q^3\)
\(q^3 = \frac{108}{4} = 27\)
\(q = \sqrt[3]{27} = 3\).
Отговор: \(q = 3\).
Трудна: Намерете \(a_1\) и \(q\) на геометрична прогресия, за която е дадена системата:
\[ \begin{cases} a_3 - a_1 = 24 \\ a_2 + a_1 = 6 \end{cases} \]
1. Изразяваме членовете чрез \(a_1\) и \(q\):
\(a_3 = a_1 q^2\)
\(a_2 = a_1 q\)
2. Заместваме в системата:
\(\begin{cases} a_1 q^2 - a_1 = 24 \\ a_1 q + a_1 = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1(q^2 - 1) = 24 \\ a_1(q + 1) = 6 \end{cases}\)
3. Разлагаме \(q^2 - 1 = (q-1)(q+1)\) в първото уравнение:
\(a_1(q-1)(q+1) = 24\)
4. Забелязваме, че \(a_1(q+1)\) от второто уравнение е част от първото. Заместваме:
\((q-1) \cdot [a_1(q+1)] = 24 \Rightarrow (q-1) \cdot 6 = 24\)
\(q-1 = 4 \Rightarrow q=5\).
5. Намираме \(a_1\) от второто уравнение:
\(a_1(5+1) = 6 \Rightarrow 6a_1 = 6 \Rightarrow a_1=1\).
Отговор: \(a_1 = 1, q = 5\).
\(a_3 = a_1 q^2\)
\(a_2 = a_1 q\)
2. Заместваме в системата:
\(\begin{cases} a_1 q^2 - a_1 = 24 \\ a_1 q + a_1 = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1(q^2 - 1) = 24 \\ a_1(q + 1) = 6 \end{cases}\)
3. Разлагаме \(q^2 - 1 = (q-1)(q+1)\) в първото уравнение:
\(a_1(q-1)(q+1) = 24\)
4. Забелязваме, че \(a_1(q+1)\) от второто уравнение е част от първото. Заместваме:
\((q-1) \cdot [a_1(q+1)] = 24 \Rightarrow (q-1) \cdot 6 = 24\)
\(q-1 = 4 \Rightarrow q=5\).
5. Намираме \(a_1\) от второто уравнение:
\(a_1(5+1) = 6 \Rightarrow 6a_1 = 6 \Rightarrow a_1=1\).
Отговор: \(a_1 = 1, q = 5\).
