Най-важното от урока
Сфера е повърхност (като сапунен мехур), а кълбо е плътно тяло (като билярдна топка).
Лице на повърхнина на сфера: \( S = 4\pi R^2 \). Зависи от радиуса на квадрат (\(R^2\)).
Обем на кълбо: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Зависи от радиуса на куб (\(R^3\)).
Важно: Винаги проверявай дали в задачата е даден радиус (\(R\)) или диаметър (\(D\)). Ако е даден диаметър, първо намери радиуса: \(R = D/2\).
Лице на повърхнина на сфера: \( S = 4\pi R^2 \). Зависи от радиуса на квадрат (\(R^2\)).
Обем на кълбо: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Зависи от радиуса на куб (\(R^3\)).
Важно: Винаги проверявай дали в задачата е даден радиус (\(R\)) или диаметър (\(D\)). Ако е даден диаметър, първо намери радиуса: \(R = D/2\).
Сфера е геометрична повърхнина, състояща се от всички точки в пространството, които са на равно разстояние \(R\) (радиус) от дадена точка \(O\) (център). Сферата е "куха" обвивка.
Основни елементи:
- Център (О) - фиксираната точка.
- Радиус (R) - разстоянието от центъра до всяка точка от сферата.
- Диаметър (D) - отсечка, свързваща две точки от сферата и минаваща през центъра. Винаги \(D = 2R\).
Повърхността на сапунен мехур или надуваем плажен волейбол има форма на сфера.
Ако диаметърът на една сфера е 14 cm, колко е нейният радиус?
Радиусът е половината от диаметъра: \(R = D / 2 = 14 / 2 = 7\) cm.
Лицето на повърхнината на сфера е площта, която заема нейната обвивка.
\[ S = 4\pi R^2 \]
където \(R\) е радиусът на сферата.
Лицето на сфера с радиус \(R = 5\) cm е:
\[ S = 4\pi (5)^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на повърхнината на сфера с радиус 1 m.
Заместваме във формулата:
\[ S = 4\pi (1)^2 = 4\pi \text{ m}^2 \]
Кълбо е пространствено тяло, което включва всички точки от една сфера, както и всички нейни вътрешни точки. Кълбото е "плътно".
Сферата е повърхнината на кълбото. Всяко кълбо има сфера, но сферата сама по себе си не е кълбо.
Билярдна топка, гюле или стъклено топче са модели на кълбо.
Кое е кълбо и кое е сфера: метална сачма и балон?
Металната сачма е плътна, следователно е кълбо. Балонът е кух, неговата повърхност е сфера.
Обемът на кълбото е мярка за пространството, което то заема.
\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]
където \(R\) е радиусът на кълбото.
Обемът на кълбо с радиус \(R = 3\) cm е:
\[ V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \text{ cm}^3 \]
Намерете обема на кълбо с диаметър 6 dm.
Първо намираме радиуса: \(R = D / 2 = 6 / 2 = 3\) dm.
След това изчисляваме обема: \[ V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ dm}^3 \]
След това изчисляваме обема: \[ V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ dm}^3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е сфера с радиус \(R = 10\) cm. Намерете лицето на повърхнината ѝ и обема на съответното кълбо.
Лице на повърхнина: \(S = 4\pi R^2 = 4\pi (10)^2 = 400\pi \text{ cm}^2\).
Обем: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4000\pi}{3} \text{ cm}^3\).
Обем: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4000\pi}{3} \text{ cm}^3\).
Средна: Дължината на голямата окръжност на сфера е \(12\pi\) cm. Намерете лицето на повърхнината на сферата и обема на кълбото.
1. Намираме радиуса от дължината на окръжността \(C = 2\pi R\).
\(12\pi = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{12\pi}{2\pi} = 6\) cm.
2. Изчисляваме лицето на повърхнината:
\(S = 4\pi R^2 = 4\pi (6)^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \text{ cm}^2\).
3. Изчисляваме обема:
\(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 4\pi \cdot 72 = 288\pi \text{ cm}^3\).
\(12\pi = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{12\pi}{2\pi} = 6\) cm.
2. Изчисляваме лицето на повърхнината:
\(S = 4\pi R^2 = 4\pi (6)^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \text{ cm}^2\).
3. Изчисляваме обема:
\(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 4\pi \cdot 72 = 288\pi \text{ cm}^3\).
Трудна: Радиусите на две кълба се отнасят както \(1:3\). Колко пъти обемът на голямото кълбо е по-голям от обема на малкото? А колко пъти лицето на повърхнината на голямата сфера е по-голямо от това на малката?
Нека радиусите са \(R_1 = k\) и \(R_2 = 3k\).
За обемите:
\(V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi k^3\)
\(V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (3k)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27k^3\)
Съотношението е \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi 27k^3}{\frac{4}{3}\pi k^3} = 27\). Обемът е 27 пъти по-голям.
За лицата на повърхнините:
\(S_1 = 4\pi R_1^2 = 4\pi k^2\)
\(S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (3k)^2 = 4\pi \cdot 9k^2\)
Съотношението е \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi 9k^2}{4\pi k^2} = 9\). Лицето е 9 пъти по-голямо.
За обемите:
\(V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi k^3\)
\(V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (3k)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27k^3\)
Съотношението е \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi 27k^3}{\frac{4}{3}\pi k^3} = 27\). Обемът е 27 пъти по-голям.
За лицата на повърхнините:
\(S_1 = 4\pi R_1^2 = 4\pi k^2\)
\(S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (3k)^2 = 4\pi \cdot 9k^2\)
Съотношението е \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi 9k^2}{4\pi k^2} = 9\). Лицето е 9 пъти по-голямо.
