Най-важното от урока
Кога се използва? Когато знаете:
- Две страни и ъгъла между тях → търсите третата страна. (Пример: \(a, b, \gamma \rightarrow c\))
- Трите страни → търсите някой от ъглите. (Пример: \(a, b, c \rightarrow \alpha\))
- За страна: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma\)
- За ъгъл: \(\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)
- \(a^2 + b^2 > c^2 \implies\) остроъгълен
- \(a^2 + b^2 = c^2 \implies\) правоъгълен
- \(a^2 + b^2 < c^2 \implies\) тъпоъгълен
Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни, минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла между тях.
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
Теоремата се използва за намиране на страна, когато са дадени две страни и ъгълът между тях.
В \(\triangle ABC\) са дадени \(b = 5\) cm, \(c = 8\) cm и \(\alpha = 60^\circ\). Намерете страната \(a\).
Прилагаме формулата за \(a^2\): \[ a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \] \[ a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 89 - 40 = 49 \] \[ a = \sqrt{49} = 7 \text{ cm} \]
Прилагаме формулата за \(a^2\): \[ a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \] \[ a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 89 - 40 = 49 \] \[ a = \sqrt{49} = 7 \text{ cm} \]
В \(\triangle ABC\) страните \(a=10\) и \(c=6\), а ъгълът между тях \(\beta = 120^\circ\). Намерете дължината на страната \(b\).
Прилагаме косинусова теорема за страната \(b\):
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]
\[ b^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ \]
\[ b^2 = 100 + 36 - 120 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ b^2 = 136 + 60 = 196 \]
\[ b = \sqrt{196} = 14 \]
Формулите на косинусовата теорема могат да се преобразуват, за да се намери косинусът на ъгъл, когато са известни дължините на трите страни на триъгълника.
\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
\[ \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
Даден е \(\triangle ABC\) със страни \(a = 7\), \(b = 5\) и \(c = 8\). Намерете \(\alpha\).
Използваме формулата за \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \] От \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) следва, че \(\alpha = 60^\circ\).
Използваме формулата за \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \] От \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) следва, че \(\alpha = 60^\circ\).
В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(a=3, b=5, c=7\). Намерете \(\gamma\).
Прилагаме формулата за \(\cos \gamma\):
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2} \]
Тъй като \(\cos \gamma\) е отрицателно, ъгълът е тъп. \(\gamma = 120^\circ\).
Чрез сравняване на квадрата на най-дългата страна със сбора от квадратите на другите две, можем да определим вида на триъгълника (остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен).
Нека \(c\) е най-дългата страна в \(\triangle ABC\):
- Ако \(a^2 + b^2 > c^2\), триъгълникът е остроъгълен.
- Ако \(a^2 + b^2 = c^2\), триъгълникът е правоъгълен (Питагорова теорема).
- Ако \(a^2 + b^2 < c^2\), триъгълникът е тъпоъгълен.
Определете вида на триъгълник със страни \(a = 3\), \(b = 5\) и \(c = 6\).
Най-дългата страна е \(c = 6\). Сравняваме \(c^2\) със сбора \(a^2 + b^2\).
\(c^2 = 6^2 = 36\)
\(a^2 + b^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\)
Тъй като \(34 < 36\), то \(a^2 + b^2 < c^2\). Следователно триъгълникът е тъпоъгълен.
Най-дългата страна е \(c = 6\). Сравняваме \(c^2\) със сбора \(a^2 + b^2\).
\(c^2 = 6^2 = 36\)
\(a^2 + b^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\)
Тъй като \(34 < 36\), то \(a^2 + b^2 < c^2\). Следователно триъгълникът е тъпоъгълен.
Определете вида на \(\triangle ABC\) със страни 8 cm, 15 cm и 17 cm.
Най-дългата страна е 17 cm.
\(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\)
\(17^2 = 289\)
Тъй като \(8^2 + 15^2 = 17^2\), триъгълникът е правоъгълен.
\(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\)
\(17^2 = 289\)
Тъй като \(8^2 + 15^2 = 17^2\), триъгълникът е правоъгълен.
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm и \(\gamma = 60^\circ\). Намерете дължината на страната \(c\).
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
\[ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ \]
\[ c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \]
\[ c = \sqrt{39} \text{ cm} \]
Средна: Даден е \(\triangle ABC\) със страни \(a = 15\), \(b = 13\) и \(c = 8\). Намерете големината на \(\angle B\).
\[ \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]
\[ \cos \beta = \frac{15^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 8} = \frac{225 + 64 - 169}{240} = \frac{120}{240} = \frac{1}{2} \]
Следователно \(\beta = 60^\circ\).
Трудна: В успоредник са дадени страните \(a = 8\) cm, \(b = 5\) cm и ъгълът между тях \(\alpha = 60^\circ\). Намерете дължините на диагоналите на успоредника.
Нека успоредникът е \(ABCD\) с \(AB = 8\), \(AD = 5\) и \(\angle DAB = 60^\circ\).
1. Диагоналът \(BD\) е страна в \(\triangle ABD\). Прилагаме косинусова теорема: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 60^\circ \] \[ BD^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 25 - 40 = 49 \] \[ BD = 7 \text{ cm} \]
2. За диагонала \(AC\) разглеждаме \(\triangle ADC\). В успоредника \(\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). \[ AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos 120^\circ \] \[ AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 64 + 40 = 129 \] \[ AC = \sqrt{129} \text{ cm} \]
Отговор: Диагоналите са 7 cm и \(\sqrt{129}\) cm.
1. Диагоналът \(BD\) е страна в \(\triangle ABD\). Прилагаме косинусова теорема: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 60^\circ \] \[ BD^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 25 - 40 = 49 \] \[ BD = 7 \text{ cm} \]
2. За диагонала \(AC\) разглеждаме \(\triangle ADC\). В успоредника \(\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). \[ AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos 120^\circ \] \[ AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 64 + 40 = 129 \] \[ AC = \sqrt{129} \text{ cm} \]
Отговор: Диагоналите са 7 cm и \(\sqrt{129}\) cm.
