Най-важното от урока
Ключови изводи: Методът на полагане преобразува сложни ирационални уравнения в по-прости (често квадратни) уравнения.
- Стъпка 1: Намери повтарящ се израз и го замести с \(u\). Пример: За \(x^2 + \sqrt{x^2+5}=7\), полагаме \(u=x^2\).
- Стъпка 2: Определи условията за \(u\). Ако \(u=\sqrt{\dots}\), то \(u \ge 0\).
- Стъпка 3: Реши новото уравнение за \(u\) и филтрирай решенията според условията.
- Стъпка 4: Върни се към първоначалната променлива \(x\) и намери крайните решения.
- Стъпка 5: Винаги прави проверка на крайните решения в първоначалното уравнение.
Методът на полагане се използва при ирационални уравнения, в които неизвестното \(x\) участва в един и същ повтарящ се израз. Този израз се замества с ново, помощно неизвестно (например \(u\)), което опростява уравнението.
Идентифицирай повтарящия се израз в уравнението.
Положи този израз да е равен на нова променлива \(u\).
Реши полученото по-просто уравнение спрямо \(u\).
Върни се в полагането и реши уравнението за \(x\), като заместиш \(u\) с намерените стойности.
Направи проверка с получените корени в първоначалното уравнение.
В уравнението \( (x^2+2x)^2 - 3(x^2+2x) - 4 = 0 \) изразът \(x^2+2x\) се повтаря. Подходящо е да се положи \( u = x^2+2x \), след което уравнението става \( u^2 - 3u - 4 = 0 \).
Кой е повтарящият се израз и какво полагане бихте направили в уравнението \( (x^2 - x) + \sqrt{x^2 - x + 4} = 8 \)?
Повтарящият се израз е \( x^2 - x \). Можем да положим \( u = x^2 - x \).
Често е по-ефективно да се положи целият корен като нова променлива. Това автоматично въвежда условие за неотрицателност на новата променлива (\( u \ge 0 \)) и улеснява изразяването на останалите членове.
Да решим уравнението \( x^2 - 5x + \sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2 \).
- Полагаме \( u = \sqrt{x^2 - 5x + 4} \). От дефиницията на корен квадратен следва, че \( u \ge 0 \).
- Повдигаме на квадрат: \( u^2 = x^2 - 5x + 4 \). Оттук изразяваме \( x^2 - 5x = u^2 - 4 \).
- Заместваме в първоначалното уравнение: \( (u^2 - 4) + u = 2 \), което води до квадратното уравнение \( u^2 + u - 6 = 0 \).
- Неговите корени са \( u_1 = 2 \) и \( u_2 = -3 \). От условието \( u \ge 0 \) следва, че само \( u = 2 \) е решение.
- Връщаме се към \(x\): \( \sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2 \). Повдигаме на квадрат и получаваме \( x^2 - 5x + 4 = 4 \), т.е. \( x^2 - 5x = 0 \).
- Корените са \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \). Проверката показва, че и двата са решения на първоначалното уравнение.
Решете уравнението \( x^2 - 7x + \sqrt{x^2 - 7x + 9} = 3 \) чрез полагане на радикала.
Полагаме \( u = \sqrt{x^2 - 7x + 9} \ge 0 \). Тогава \( x^2 - 7x = u^2 - 9 \). Уравнението става \( (u^2 - 9) + u = 3 \Rightarrow u^2 + u - 12 = 0 \). Корените са \( u_1 = 3 \) и \( u_2 = -4 \). Решение е само \( u = 3 \). Връщаме се в полагането: \( \sqrt{x^2 - 7x + 9} = 3 \Rightarrow x^2 - 7x + 9 = 9 \Rightarrow x(x-7)=0 \). Корените са \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 7 \).
Ако в уравнението участва радикал и неговият реципрочен израз, полагането на радикала води до лесно решимо уравнение.
Да решим уравнението \( \sqrt{2x+1} - \frac{4}{\sqrt{2x+1}} = 3 \).
- Дефиниционна област: \( 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/2 \).
- Полагаме \( u = \sqrt{2x+1} \). От ДС следва, че \( u > 0 \).
- Уравнението добива вида \( u - \frac{4}{u} = 3 \).
- Освобождаваме от знаменател: \( u^2 - 4 = 3u \Rightarrow u^2 - 3u - 4 = 0 \).
- Корените са \( u_1 = 4 \) и \( u_2 = -1 \). От условието \( u > 0 \), решение е само \( u = 4 \).
- Връщаме се към \(x\): \( \sqrt{2x+1} = 4 \Rightarrow 2x+1 = 16 \Rightarrow x = 15/2 \). Стойността \(15/2\) е в ДС.
Решете уравнението \( \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} + 2\sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = 3 \).
Полагаме \( u = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} > 0 \). Тогава \( \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = \frac{1}{u} \). Уравнението става \( u + \frac{2}{u} = 3 \Rightarrow u^2 - 3u + 2 = 0 \). Корените са \( u_1=1, u_2=2 \). И двете са > 0.
1) Ако \( u=1 \): \( \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = 1 \Rightarrow \frac{x+2}{x-1} = 1 \Rightarrow x+2 = x-1 \Rightarrow 2=-1 \). Няма решение.
2) Ако \( u=2 \): \( \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = 2 \Rightarrow \frac{x+2}{x-1} = 4 \Rightarrow x+2 = 4x-4 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \).
Отговор: \(x=2\).
Ако в уравнението има два различни радикала, но изразите под тях съдържат една и съща повтаряща се част, тази част се полага с нова променлива.
Да решим \( \sqrt{2x^2+6x+1} + \sqrt{3x^2+9x+4} = 3 \).
- Забелязваме, че \(2x^2+6x = 2(x^2+3x)\) и \(3x^2+9x = 3(x^2+3x)\). Полагаме \( u = x^2+3x \).
- Уравнението става \( \sqrt{2u+1} + \sqrt{3u+4} = 3 \).
- Решаваме това ирационално уравнение за \(u\). Изолираме единия корен и повдигаме на квадрат:
\( \sqrt{3u+4} = 3 - \sqrt{2u+1} \Rightarrow 3u+4 = 9 - 6\sqrt{2u+1} + 2u+1 \). - Опростяваме: \( u-6 = -6\sqrt{2u+1} \), или \( 6\sqrt{2u+1} = 6-u \).
- Отново повдигаме на квадрат: \( 36(2u+1) = (6-u)^2 \Rightarrow 72u+36 = 36-12u+u^2 \).
- Получаваме \( u^2-84u=0 \), с корени \( u_1=0 \) и \( u_2=84 \).
- След проверка в \( 6\sqrt{2u+1} = 6-u \) се установява, че само \( u=0 \) е решение.
- Връщаме се към \(x\): \( x^2+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0 \). Корените са \( x_1=0 \) и \( x_2=-3 \).
Кое е подходящото полагане за уравнението \( \sqrt{x^2-5x+1} - \sqrt{2x^2-10x-3} = 1 \)?
Забелязваме, че \(2x^2-10x = 2(x^2-5x)\). Полагаме \( u = x^2-5x \). Уравнението става \( \sqrt{u+1} - \sqrt{2u-3} = 1 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \( x^2 + x + \sqrt{x^2+x-1} = 7 \).
Полагаме \(u = \sqrt{x^2+x-1} \ge 0\). Тогава \(u^2 = x^2+x-1 \Rightarrow x^2+x = u^2+1\).
Уравнението става \(u^2+1+u=7 \Rightarrow u^2+u-6=0\).
Корените са \(u=2\) и \(u=-3\). Тъй като \(u \ge 0\), избираме \(u=2\).
Връщаме се към полагането: \(\sqrt{x^2+x-1}=2 \Rightarrow x^2+x-1=4 \Rightarrow x^2+x-5=0\).
Отговор: \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}\).
Средна: Решете уравнението \( 2\sqrt{x^2-9} + \frac{5}{\sqrt{x^2-9}} = 11 \).
Полагаме \(u = \sqrt{x^2-9} > 0\).
Уравнението става \(2u + \frac{5}{u} = 11 \Rightarrow 2u^2 - 11u + 5 = 0\).
Корените за \(u\) са \(u_1=5\) и \(u_2=1/2\). И двата са положителни.
1) \(\sqrt{x^2-9} = 5 \Rightarrow x^2-9=25 \Rightarrow x^2=34 \Rightarrow x=\pm\sqrt{34}\).
2) \(\sqrt{x^2-9} = 1/2 \Rightarrow x^2-9=1/4 \Rightarrow x^2=37/4 \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{37}}{2}\).
Отговор: Уравнението има четири корена: \( \pm\sqrt{34} \) и \( \pm\frac{\sqrt{37}}{2} \).
Трудна: Решете уравнението \( \sqrt{3x^2+5x+8} - \sqrt{3x^2+5x+1} = 1 \).
Полагаме \(u = 3x^2+5x\). Уравнението става \( \sqrt{u+8} - \sqrt{u+1} = 1 \).
Изолираме корен: \(\sqrt{u+8} = 1 + \sqrt{u+1}\).
Повдигаме на квадрат: \(u+8 = 1 + 2\sqrt{u+1} + u+1 \Rightarrow u+8 = u+2 + 2\sqrt{u+1}\).
Опростяваме: \(6 = 2\sqrt{u+1} \Rightarrow 3 = \sqrt{u+1}\).
Повдигаме отново на квадрат: \(9 = u+1 \Rightarrow u=8\).
Връщаме се към \(x\): \(3x^2+5x = 8 \Rightarrow 3x^2+5x-8=0\).
Корените на това квадратно уравнение са \(x_1=1\) и \(x_2 = -8/3\).
Отговор: \(x_1=1, x_2 = -8/3\).
