Най-важното от урока
Средно-геометрично свойство: Квадратът на всеки член е равен на произведението на съседите му.
Пример: За прогресията \(..., 5, 10, 20, ...\) е вярно, че \(10^2 = 5 \cdot 20\).
Произведение на равноотдалечени членове: Ако сумите от индексите са равни, произведенията са равни.
Пример: В прогресията \(a_1, ..., a_{10}\), е вярно, че \(a_1 \cdot a_{10} = a_2 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_8\).
Пример: За прогресията \(..., 5, 10, 20, ...\) е вярно, че \(10^2 = 5 \cdot 20\).
Произведение на равноотдалечени членове: Ако сумите от индексите са равни, произведенията са равни.
Пример: В прогресията \(a_1, ..., a_{10}\), е вярно, че \(a_1 \cdot a_{10} = a_2 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_8\).
Всеки член на геометрична прогресия (след първия) е средно-геометричен на двата си съседни члена. Това означава, че квадратът на члена е равен на произведението на неговите съседи.
\[ a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad (\text{за } n \ge 2) \]
В прогресията \(2, 4, 8\), вторият член \(a_2=4\) е средно-геометричен на първия и третия:
\[ 4^2 = 2 \cdot 8 \implies 16 = 16 \]
За коя стойност на \(x\) числата \(3, x, 12\) са последователни членове на геометрична прогресия?
Прилагаме свойството: \(x^2 = 3 \cdot 12 \implies x^2 = 36\).
Отговор: \(x = 6\) или \(x = -6\).
Отговор: \(x = 6\) или \(x = -6\).
Във всяка крайна геометрична прогресия, произведението на два члена, които са равноотдалечени от краищата, е равно на произведението на крайните членове.
По-общо, ако сумата от индексите на два члена е равна на сумата от индексите на други два члена, то произведенията на тези двойки членове са равни.
Ако \(p+r = s+t\), то \( a_p \cdot a_r = a_s \cdot a_t \).
Ако \(p+r = s+t\), то \( a_p \cdot a_r = a_s \cdot a_t \).
В прогресията \(1, 3, 9, 27, 81\), имаме 5 члена.
- Произведение на крайните членове: \(a_1 \cdot a_5 = 1 \cdot 81 = 81\).
- Произведение на равноотдалечените: \(a_2 \cdot a_4 = 3 \cdot 27 = 81\).
- Средният член на квадрат е също равен на това произведение: \(a_3^2 = 9^2 = 81\).
В геометрична прогресия са дадени \(a_2 = 5\) и \(a_8 = 40\). Намерете произведението \(a_4 \cdot a_6\).
Сумата от индексите е \(4+6 = 10\). Също така \(2+8=10\).
Следователно \(a_4 \cdot a_6 = a_2 \cdot a_8 = 5 \cdot 40 = 200\).
Отговор: 200.
Следователно \(a_4 \cdot a_6 = a_2 \cdot a_8 = 5 \cdot 40 = 200\).
Отговор: 200.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете \(x\), ако числата \(x-1, x+1, x+7\) образуват геометрична прогресия.
От свойството за съседни членове: \((x+1)^2 = (x-1)(x+7)\).
\(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 7x - x - 7\)
\(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 6x - 7\)
\(2x + 1 = 6x - 7\)
\(8 = 4x \implies x=2\).
(Прогресията е 1, 3, 9 с \(q=3\)).
Отговор: \(x=2\).
\(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 7x - x - 7\)
\(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 6x - 7\)
\(2x + 1 = 6x - 7\)
\(8 = 4x \implies x=2\).
(Прогресията е 1, 3, 9 с \(q=3\)).
Отговор: \(x=2\).
Средна: В геометрична прогресия \(a_3 = 10\) и \(a_7 = 160\). Намерете произведението на първия и деветия член (\(a_1 \cdot a_9\)).
Използваме свойството за равноотдалечените членове.
Сумата от индексите е \(1+9 = 10\).
Сумата от индексите на дадените членове е \(3+7 = 10\).
Следователно, \(a_1 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_7 = 10 \cdot 160 = 1600\).
Отговор: 1600.
Сумата от индексите е \(1+9 = 10\).
Сумата от индексите на дадените членове е \(3+7 = 10\).
Следователно, \(a_1 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_7 = 10 \cdot 160 = 1600\).
Отговор: 1600.
Трудна: За геометрична прогресия е известно, че третият ѝ член е \(a_3 = 2\). Намерете произведението на първите пет члена на прогресията.
Нека търсеното произведение е \(P_5 = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5\).
Групираме равноотдалечените членове: \(P_5 = (a_1 \cdot a_5) \cdot (a_2 \cdot a_4) \cdot a_3\).
От свойство 2 знаем, че \(a_1 \cdot a_5 = a_2 \cdot a_4\).
Също така, от свойство 1 (или като частен случай на свойство 2), знаем, че \(a_3^2 = a_2 \cdot a_4\).
Следователно \(a_1 \cdot a_5 = a_2 \cdot a_4 = a_3^2\).
Заместваме в произведението: \(P_5 = (a_3^2) \cdot (a_3^2) \cdot a_3 = a_3^5\).
Тъй като \(a_3 = 2\), то \(P_5 = 2^5 = 32\).
Отговор: 32.
Групираме равноотдалечените членове: \(P_5 = (a_1 \cdot a_5) \cdot (a_2 \cdot a_4) \cdot a_3\).
От свойство 2 знаем, че \(a_1 \cdot a_5 = a_2 \cdot a_4\).
Също така, от свойство 1 (или като частен случай на свойство 2), знаем, че \(a_3^2 = a_2 \cdot a_4\).
Следователно \(a_1 \cdot a_5 = a_2 \cdot a_4 = a_3^2\).
Заместваме в произведението: \(P_5 = (a_3^2) \cdot (a_3^2) \cdot a_3 = a_3^5\).
Тъй като \(a_3 = 2\), то \(P_5 = 2^5 = 32\).
Отговор: 32.
