Най-важното от урока
Неравенства \(\sqrt{f(x)} < g(x)\): Решават се със система от 3 условия, които трябва да са изпълнени едновременно: \(f(x) \ge 0\), \(g(x)>0\) и \(f(x) < g^2(x)\).
Неравенства \(\sqrt{f(x)} > g(x)\): Решават се като обединение на решенията от 2 случая:
1) Когато \(g(x) < 0\) (тогава е достатъчно само \(f(x) \ge 0\)).
2) Когато \(g(x) \ge 0\) (тогава повдигаме на квадрат: \(f(x) > g^2(x)\)).
Неравенства \(\sqrt{f(x)} > g(x)\): Решават се като обединение на решенията от 2 случая:
1) Когато \(g(x) < 0\) (тогава е достатъчно само \(f(x) \ge 0\)).
2) Когато \(g(x) \ge 0\) (тогава повдигаме на квадрат: \(f(x) > g^2(x)\)).
Решението на такова неравенство е сечението на решенията на система от три неравенства: дефиниционно множество, положителност на дясната страна и повдигане на квадрат.
Правилото за решаване е:
\[ \sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge 0 & \text{(коренът да е дефиниран)} \\ g(x) > 0 & \text{(дясната страна да е положителна)} \\ f(x) < g^2(x) & \text{(повдигаме на квадрат)} \end{cases} \]
Аналогично е и за знака \(\le\), като второто неравенство става \(g(x) \ge 0\).
Неравенството \(\sqrt{x+18} < 2-x\) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases} x+18 \ge 0 \\ 2-x > 0 \\ x+18 < (2-x)^2 \end{cases} \]
Решението е сечението на решенията на трите неравенства: \(x \in [-18; -2)\).
Решете неравенството \(\sqrt{x-1} < 3\).
Системата е \(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 3 > 0 \\ x-1 < 3^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ \text{Вярно за всяко x} \\ x < 10 \end{cases}\)
Отговор: \(x \in [1; 10)\).
Отговор: \(x \in [1; 10)\).
Тук се разглеждат два отделни случая, чиито решения накрая се обединяват.
Правилото за решаване е обединение на решенията на две системи:
\[ \sqrt{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \underbrace{\left( \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \right)}_{\text{Случай 1}} \lor \underbrace{\left( \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{cases} \right)}_{\text{Случай 2}} \]
Случай 1: Дясната страна е отрицателна. Неравенството е вярно за всяко \(x\) от дефиниционното множество.
Случай 2: Дясната страна е неотрицателна. Може да повдигнем на квадрат. Аналогично е и за знака \(\ge\).
Случай 2: Дясната страна е неотрицателна. Може да повдигнем на квадрат. Аналогично е и за знака \(\ge\).
Неравенството \(\sqrt{x^2+7x+10} \ge x+1\) се решава чрез обединяване на решенията на двете системи:
1) \(\begin{cases} x+1 < 0 \\ x^2+7x+10 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -5] \cup [-2; -1)\).
2) \(\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x^2+7x+10 \ge (x+1)^2 \end{cases} \Rightarrow x \in [-1; +\infty)\).
Обединението на двете решения дава крайния отговор: \(x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)\).![Три успоредни хоризонтални числови оси, разположени една под друга.
Първата ос, обозначена като 'Решение на Система 1', изобразява интервала `x \in (-\infty; -5] \cup [-2; -1)`. Това е представено чрез плътна линия със стрелка към минус безкрайност, завършваща със запълнен кръг при -5; и отделен плътен отрязък от запълнен кръг при -2 до незапълнен кръг при -1.
Втората ос, обозначена като 'Решение на Система 2', изобразява интервала `x \in [-1; +\infty)`. Това е представено чрез плътна линия, започваща от запълнен кръг при -1 и продължаваща със стрелка към плюс безкрайност.
Третата ос, обозначена като 'Обединение', изобразява обединението на решенията `x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)`. Това е представено чрез плътна линия със стрелка към минус безкрайност, завършваща със запълнен кръг при -5; и отделен плътен отрязък, започващ от запълнен кръг при -2 и продължаващ със стрелка към плюс безкрайност.
Всички числови оси трябва да имат ясно обозначени критични точки -5, -2, -1 и 0, като съответните точки са вертикално подравнени.](https://domashno.bg/get_image/9fdc7cde-6552-4f55-8b41-42eadcd4aa3e?timestamp=1757707324)
1) \(\begin{cases} x+1 < 0 \\ x^2+7x+10 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -5] \cup [-2; -1)\).
2) \(\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x^2+7x+10 \ge (x+1)^2 \end{cases} \Rightarrow x \in [-1; +\infty)\).
Обединението на двете решения дава крайния отговор: \(x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)\).
Решете неравенството \(\sqrt{x+3} > -2\).
Тъй като дясната страна \(-2\) е отрицателна, попадаме в Случай 1. Неравенството е вярно винаги, когато коренът е дефиниран.
\(x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\).
Отговор: \(x \in [-3; +\infty)\).
\(x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\).
Отговор: \(x \in [-3; +\infty)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \(\sqrt{x+4} \le 2\).
Прилагаме правилото за \(\sqrt{f(x)} \le g(x)\):
\[ \begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 2 \ge 0 \\ x+4 \le 2^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -4 \\ \text{Вярно} \\ x \le 0 \end{cases} \]
Сечението на решенията е \(x \in [-4, 0]\).
Отговор: \(x \in [-4, 0]\).
Отговор: \(x \in [-4, 0]\).
Средна: Решете неравенството \(\sqrt{x^2 - 4} < \sqrt{5}\).
Прилагаме правилото за \(\sqrt{f(x)} < g(x)\), където \(g(x) = \sqrt{5} > 0\). Условието \(g(x)>0\) е винаги изпълнено.
\[ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x^2 - 4 < (\sqrt{5})^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-2)(x+2) \ge 0 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \\ (x-3)(x+3) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \\ x \in (-3, 3) \end{cases} \]
Сечението на двата интервала е \(x \in (-3, -2] \cup [2, 3)\).
Отговор: \(x \in (-3, -2] \cup [2, 3)\).
Отговор: \(x \in (-3, -2] \cup [2, 3)\).
Трудна: Решете неравенството \(\sqrt{2x+1} > x-1\).
Разглеждаме два случая:
Случай 1: \(x-1 < 0\) и \(2x+1 \ge 0\). \[ \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1/2 \end{cases} \Rightarrow x \in [-1/2, 1) \] Случай 2: \(x-1 \ge 0\) и \(2x+1 > (x-1)^2\). \[ \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x+1 > x^2 - 2x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x^2 - 4x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x(x-4) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases} \Rightarrow x \in [1, 4) \] Обединяваме решенията от двата случая: \(x \in [-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)\).
Отговор: \(x \in [-1/2, 4)\).
Случай 1: \(x-1 < 0\) и \(2x+1 \ge 0\). \[ \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1/2 \end{cases} \Rightarrow x \in [-1/2, 1) \] Случай 2: \(x-1 \ge 0\) и \(2x+1 > (x-1)^2\). \[ \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x+1 > x^2 - 2x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x^2 - 4x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x(x-4) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases} \Rightarrow x \in [1, 4) \] Обединяваме решенията от двата случая: \(x \in [-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)\).
Отговор: \(x \in [-1/2, 4)\).
