Най-важното от урока
Размах (R): Бърза мярка за пълния обхват на данните (\(R = x_{max} - x_{min}\)).
Линейно (δ) и Стандартно (σ) отклонение: Измерват средното разсейване на данните около средната аритметична стойност.
Интерпретация: По-малки стойности на \( \delta \) и \( \sigma \) означават по-малко разсейване и по-голяма концентрация на данните около средната.
При интервали: Първо се намира средата на всеки интервал, която се използва в последващите изчисления.
Неравенство: Винаги е изпълнено \(R \ge \sigma \ge \delta\).
Линейно (δ) и Стандартно (σ) отклонение: Измерват средното разсейване на данните около средната аритметична стойност.
Интерпретация: По-малки стойности на \( \delta \) и \( \sigma \) означават по-малко разсейване и по-голяма концентрация на данните около средната.
При интервали: Първо се намира средата на всеки интервал, която се използва в последващите изчисления.
Неравенство: Винаги е изпълнено \(R \ge \sigma \ge \delta\).
Размахът е най-простата характеристика на разсейване. Той е равен на разликата между най-голямата (\(x_{max}\)) и най-малката (\(x_{min}\)) стойност в данните.
Размахът показва пълния диапазон на данните, но не дава информация за това как те са разположени около средната стойност.
\[ R = x_{max} - x_{min} \]
За данните 15, 23, 14, 16, 22, най-голямата стойност е 23, а най-малката е 14.
Размахът е: \(R = 23 - 14 = 9\).
Размахът е: \(R = 23 - 14 = 9\).
Намерете размаха на следния ред от данни: 480, 520, 460, 550, 490.
\(x_{max} = 550\), \(x_{min} = 460\).
\(R = 550 - 460 = 90\).
\(R = 550 - 460 = 90\).
Линейното отклонение е средноаритметичната стойност на абсолютните отклонения на всяка стойност (\(x_i\)) от средната аритметична (\(\bar{x}\)). Показва средното абсолютно разстояние на стойностите до центъра на разпределението.
За негрупирани данни (n е броят на стойностите):
\[ \delta = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| \]
За групирани данни (N е общият брой единици, \(f_i\) е честотата на всяка стойност):
\[ \delta = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} |x_i - \bar{x}| f_i \]
За данните 14, 16, 18, 22 (\(\bar{x} = 17.5\)):
\( |14-17.5|=3.5 \), \( |16-17.5|=1.5 \), \( |18-17.5|=0.5 \), \( |22-17.5|=4.5 \).
\( \delta = \frac{3.5+1.5+0.5+4.5}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \).
\( |14-17.5|=3.5 \), \( |16-17.5|=1.5 \), \( |18-17.5|=0.5 \), \( |22-17.5|=4.5 \).
\( \delta = \frac{3.5+1.5+0.5+4.5}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \).
Намерете линейното отклонение за данните 5, 7, 9 (средната стойност \(\bar{x}=7\)).
\( \delta = \frac{|5-7| + |7-7| + |9-7|}{3} = \frac{2 + 0 + 2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \).
Дисперсията (\(\sigma^2\)) е средната аритметична стойност на квадратите на отклоненията на всяка стойност от средната аритметична. Стандартното отклонение (\(\sigma\)) е корен квадратен от дисперсията и е най-широко използваната мярка за разсейване.
Колкото по-малка е стойността на \(\sigma\), толкова по-концентрирани (хомогенни) са данните около средната стойност.
Дисперсия за негрупирани данни:
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
Дисперсия за групирани данни:
\[ \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 f_i \]
Стандартно отклонение:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
За данните 14, 16, 18, 22 (\(\bar{x} = 17.5\)):
\( (14-17.5)^2=12.25 \), \( (16-17.5)^2=2.25 \), \( (18-17.5)^2=0.25 \), \( (22-17.5)^2=20.25 \).
Дисперсия: \( \sigma^2 = \frac{12.25+2.25+0.25+20.25}{4} = \frac{35}{4} = 8.75 \).
Стандартно отклонение: \( \sigma = \sqrt{8.75} \approx 2.96 \).
\( (14-17.5)^2=12.25 \), \( (16-17.5)^2=2.25 \), \( (18-17.5)^2=0.25 \), \( (22-17.5)^2=20.25 \).
Дисперсия: \( \sigma^2 = \frac{12.25+2.25+0.25+20.25}{4} = \frac{35}{4} = 8.75 \).
Стандартно отклонение: \( \sigma = \sqrt{8.75} \approx 2.96 \).
Намерете стандартното отклонение за данните 5, 7, 9 (\(\bar{x}=7\)).
\( \sigma^2 = \frac{(5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2}{3} = \frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3} \).
\( \sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63 \).
\( \sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63 \).
При данни, групирани в интервали (напр. [10; 14)), първо трябва да се намери средата на всеки интервал. Тези среди (\(x_i\)) се използват като стойности в по-нататъшните изчисления по формулите за групирани данни.
\[ x_i = \frac{\text{долна граница} + \text{горна граница}}{2} \]
За интервал [6; 10), средата на интервала е:
\[ x_i = \frac{6+10}{2} = 8 \]
Тази стойност \(x_i=8\) се използва за всички изчисления, свързани с този интервал.
Намерете средата на интервала [18; 22).
\( x_i = \frac{18+22}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадени са оценките на един ученик: 4, 5, 6, 5, 6. Изчислете средната аритметична стойност, размаха и стандартното отклонение.
1. Средна аритметична стойност: \(\bar{x} = \frac{4+5+6+5+6}{5} = \frac{26}{5} = 5.2\).
2. Размах: \(R = 6 - 4 = 2\).
3. Дисперсия: \( \sigma^2 = \frac{(4-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (6-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (6-5.2)^2}{5} \)
\( \sigma^2 = \frac{(-1.2)^2 + (-0.2)^2 + (0.8)^2 + (-0.2)^2 + (0.8)^2}{5} = \frac{1.44 + 0.04 + 0.64 + 0.04 + 0.64}{5} = \frac{2.8}{5} = 0.56 \).
4. Стандартно отклонение: \( \sigma = \sqrt{0.56} \approx 0.75 \).
2. Размах: \(R = 6 - 4 = 2\).
3. Дисперсия: \( \sigma^2 = \frac{(4-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (6-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (6-5.2)^2}{5} \)
\( \sigma^2 = \frac{(-1.2)^2 + (-0.2)^2 + (0.8)^2 + (-0.2)^2 + (0.8)^2}{5} = \frac{1.44 + 0.04 + 0.64 + 0.04 + 0.64}{5} = \frac{2.8}{5} = 0.56 \).
4. Стандартно отклонение: \( \sigma = \sqrt{0.56} \approx 0.75 \).
Средна: Двама баскетболисти имат следния брой точки в последните 5 мача:
Играч А: 18, 20, 22, 21, 19
Играч Б: 10, 30, 20, 15, 25
Изчислете средния брой точки и стандартното отклонение за всеки играч. Кой играч е по-постоянен (по-надежден) в представянето си?
Играч А: 18, 20, 22, 21, 19
Играч Б: 10, 30, 20, 15, 25
Изчислете средния брой точки и стандартното отклонение за всеки играч. Кой играч е по-постоянен (по-надежден) в представянето си?
За Играч А:
\(\bar{x}_A = \frac{18+20+22+21+19}{5} = \frac{100}{5} = 20\) точки.
\(\sigma^2_A = \frac{(18-20)^2 + (20-20)^2 + (22-20)^2 + (21-20)^2 + (19-20)^2}{5} = \frac{4+0+4+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2\).
\(\sigma_A = \sqrt{2} \approx 1.41\).
За Играч Б:
\(\bar{x}_B = \frac{10+30+20+15+25}{5} = \frac{100}{5} = 20\) точки.
\(\sigma^2_B = \frac{(10-20)^2 + (30-20)^2 + (20-20)^2 + (15-20)^2 + (25-20)^2}{5} = \frac{100+100+0+25+25}{5} = \frac{250}{5} = 50\).
\(\sigma_B = \sqrt{50} \approx 7.07\).
Извод: И двамата играчи имат еднакъв среден брой точки (20), но Играч А има много по-малко стандартно отклонение (\(1.41 < 7.07\)). Това означава, че неговото представяне е по-концентрирано около средната стойност, т.е. той е по-постоянен и надежден.
\(\bar{x}_A = \frac{18+20+22+21+19}{5} = \frac{100}{5} = 20\) точки.
\(\sigma^2_A = \frac{(18-20)^2 + (20-20)^2 + (22-20)^2 + (21-20)^2 + (19-20)^2}{5} = \frac{4+0+4+1+1}{5} = \frac{10}{5} = 2\).
\(\sigma_A = \sqrt{2} \approx 1.41\).
За Играч Б:
\(\bar{x}_B = \frac{10+30+20+15+25}{5} = \frac{100}{5} = 20\) точки.
\(\sigma^2_B = \frac{(10-20)^2 + (30-20)^2 + (20-20)^2 + (15-20)^2 + (25-20)^2}{5} = \frac{100+100+0+25+25}{5} = \frac{250}{5} = 50\).
\(\sigma_B = \sqrt{50} \approx 7.07\).
Извод: И двамата играчи имат еднакъв среден брой точки (20), но Играч А има много по-малко стандартно отклонение (\(1.41 < 7.07\)). Това означава, че неговото представяне е по-концентрирано около средната стойност, т.е. той е по-постоянен и надежден.
Трудна: Дадено е разпределението на 50 служители според месечната им заплата:
\[ \begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Заплата (лв.)} & [1000; 1400) & [1400; 1800) & [1800; 2200) & [2200; 2600) \\
\hline
\textbf{Брой служители} & 10 & 20 & 15 & 5 \\
\hline
\end{array} \]
Изчислете средната заплата и стандартното отклонение.
1. Намираме средите на интервалите (\(x_i\)):
\(x_1 = 1200\), \(x_2 = 1600\), \(x_3 = 2000\), \(x_4 = 2400\).
2. Изчисляваме средната аритметична стойност (\(\bar{x}\)) за групирани данни:
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{N} = \frac{1200 \cdot 10 + 1600 \cdot 20 + 2000 \cdot 15 + 2400 \cdot 5}{50}\)
\(\bar{x} = \frac{12000 + 32000 + 30000 + 12000}{50} = \frac{86000}{50} = 1720\) лв.
3. Изчисляваме дисперсията (\(\sigma^2\)):
\(\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{N}\)
\((1200-1720)^2 \cdot 10 = (-520)^2 \cdot 10 = 270400 \cdot 10 = 2704000\)
\((1600-1720)^2 \cdot 20 = (-120)^2 \cdot 20 = 14400 \cdot 20 = 288000\)
\((2000-1720)^2 \cdot 15 = (280)^2 \cdot 15 = 78400 \cdot 15 = 1176000\)
\((2400-1720)^2 \cdot 5 = (680)^2 \cdot 5 = 462400 \cdot 5 = 2312000\)
\(\sigma^2 = \frac{2704000 + 288000 + 1176000 + 2312000}{50} = \frac{6480000}{50} = 129600\).
4. Намираме стандартното отклонение (\(\sigma\)):
\(\sigma = \sqrt{129600} = 360\) лв.
\(x_1 = 1200\), \(x_2 = 1600\), \(x_3 = 2000\), \(x_4 = 2400\).
2. Изчисляваме средната аритметична стойност (\(\bar{x}\)) за групирани данни:
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{N} = \frac{1200 \cdot 10 + 1600 \cdot 20 + 2000 \cdot 15 + 2400 \cdot 5}{50}\)
\(\bar{x} = \frac{12000 + 32000 + 30000 + 12000}{50} = \frac{86000}{50} = 1720\) лв.
3. Изчисляваме дисперсията (\(\sigma^2\)):
\(\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{N}\)
\((1200-1720)^2 \cdot 10 = (-520)^2 \cdot 10 = 270400 \cdot 10 = 2704000\)
\((1600-1720)^2 \cdot 20 = (-120)^2 \cdot 20 = 14400 \cdot 20 = 288000\)
\((2000-1720)^2 \cdot 15 = (280)^2 \cdot 15 = 78400 \cdot 15 = 1176000\)
\((2400-1720)^2 \cdot 5 = (680)^2 \cdot 5 = 462400 \cdot 5 = 2312000\)
\(\sigma^2 = \frac{2704000 + 288000 + 1176000 + 2312000}{50} = \frac{6480000}{50} = 129600\).
4. Намираме стандартното отклонение (\(\sigma\)):
\(\sigma = \sqrt{129600} = 360\) лв.
