Най-важното от урока
Основен алгоритъм:
1. Моделиране: Изразете търсената величина (лице, периметър) като функция \(f(x)\) на подходящо избран параметър \(x\).
2. Дефиниционен интервал: Определете възможните стойности за \(x\) от условията на задачата.
3. Анализ на функцията:
1. Моделиране: Изразете търсената величина (лице, периметър) като функция \(f(x)\) на подходящо избран параметър \(x\).
2. Дефиниционен интервал: Определете възможните стойности за \(x\) от условията на задачата.
3. Анализ на функцията:
- Ако \(f(x)\) е квадратна, намерете върха \(x_V\). Ако \(x_V\) е в интервала, екстремумът е там. Ако е извън, изследвайте стойностите в краищата на интервала. (Пример: макс. лице на правоъгълник в трапец).
- Ако \(f(x)\) е линейна, екстремумите са винаги в краищата на интервала.
- За максимизиране на произведение \(u \cdot v\) при константен сбор \(u+v\), решението е при \(u=v\). (Пример: правоъгълник с макс. лице при даден периметър е квадрат).
Много екстремални задачи се свеждат до намиране на най-голяма (НГС) или най-малка (НМС) стойност на квадратна функция \(f(x) = ax^2+bx+c\) в определен интервал. Екстремумът се достига във върха на параболата, ако той е в дефиниционния интервал на задачата.
Изразете търсената величина (лице, периметър и др.) като функция \(f(x)\) на един параметър \(x\).
Определете дефиниционния интервал за \(x\), съобразен с геометричните ограничения (дължините са положителни числа).
Намерете абсцисата на върха на параболата: \(x_V = \frac{-b}{2a}\).
Ако \(x_V\) принадлежи на дефиниционния интервал, то екстремумът на функцията се достига при \(x = x_V\).
- Ако \(a<0\) (парабола надолу), при \(x_V\) се достига най-голяма стойност.
- Ако \(a>0\) (парабола нагоре), при \(x_V\) се достига най-малка стойност.
Задача: От всички правоъгълници с периметър 60 см, намерете този с най-голямо лице.
Решение: 1. Нека едната страна е \(x\). Тогава другата е \(30-x\). Лицето е \(S(x) = x(30-x) = -x^2+30x\).
2. Интервалът е \(x \in (0, 30)\).
3. Върхът на параболата \(f(x)=-x^2+30x\) е при \(x_V = \frac{-30}{2(-1)} = 15\).
4. Тъй като \(15 \in (0, 30)\) и \(a=-1<0\), при \(x=15\) лицето е максимално. Правоъгълникът е квадрат със страна 15 см.
Решение: 1. Нека едната страна е \(x\). Тогава другата е \(30-x\). Лицето е \(S(x) = x(30-x) = -x^2+30x\).
Отсечка с дължина 20 см е разделена на две части \(x\) и \(20-x\). Намерете \(x\), така че сборът от лицата на квадратите, построени върху тези две части, да е най-малък.
Сборът от лицата е \(S(x) = x^2 + (20-x)^2 = 2x^2 - 40x + 400\).
Търсим НМС в интервала \(x \in (0, 20)\).
Върхът е при \(x_V = \frac{-(-40)}{2 \cdot 2} = 10\). Тъй като \(10 \in (0, 20)\) и \(a=2>0\), при \(x=10\) сборът е най-малък.
Отговор: \(x=10\) см.
Търсим НМС в интервала \(x \in (0, 20)\).
Върхът е при \(x_V = \frac{-(-40)}{2 \cdot 2} = 10\). Тъй като \(10 \in (0, 20)\) и \(a=2>0\), при \(x=10\) сборът е най-малък.
Отговор: \(x=10\) см.
Ако върхът на параболата \(x_V\) е извън дефиниционния интервал на задачата \([c, d]\), то функцията е растяща или намаляваща в целия интервал. НГС и НМС се достигат в краищата на интервала.
Намерете функцията \(f(x)\), дефиниционния интервал \([c, d]\) и върха \(x_V\).
Проверете дали \(x_V \in [c, d]\). Ако не е, преминете към следващата стъпка.
Изчислете стойностите на функцията в краищата на интервала: \(f(c)\) и \(f(d)\).
Сравнете \(f(c)\) и \(f(d)\), за да определите коя е най-голямата и коя е най-малката стойност в дадения интервал.
Задача: Намерете НГС на функцията \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 10x\) в интервала \(x \in (0, 8]\).
Решение: 1. Върхът е при \(x_V = \frac{-10}{2(-1/2)} = 10\). 2. \(x_V = 10\) не принадлежи на интервала \((0, 8]\). 3. Тъй като параболата е обърната надолу (\(a<0\)) и върхът е след интервала, функцията е растяща в \((0, 8]\). 4. Следователно НГС се достига в десния край на интервала: при \(x=8\). \(f(8) = -\frac{1}{2}(8^2)+10(8) = -32+80=48\).![В правоъгълна координатна система Oxy начертайте парабола, обърната надолу, с връх при \(x_V=10\) и \(y_V=50\). На оста Ox маркирайте интервала \((0, 8]\) с отворена точка при \(x=0\) и затворена точка при \(x=8\). Удебелете или оцветете сегмента от параболата, който съответства на този интервал, показвайки, че функцията е растяща в него. Маркирайте и етикетирайте точката на параболата, съответстваща на \(x=8\), като локален максимум в интервала, с координати \(x=8\) и \(y=48\). Добавете пунктирани линии от точката \((8, 48)\) до осите Ox и Oy. Ясно покажете, че върхът на параболата при \(x_V=10\) е извън и вдясно от интервала \((0, 8]\).](https://domashno.bg/get_image/9fdc7cde-70a5-412d-be60-95880050d971?timestamp=1757708044)
Решение: 1. Върхът е при \(x_V = \frac{-10}{2(-1/2)} = 10\). 2. \(x_V = 10\) не принадлежи на интервала \((0, 8]\). 3. Тъй като параболата е обърната надолу (\(a<0\)) и върхът е след интервала, функцията е растяща в \((0, 8]\). 4. Следователно НГС се достига в десния край на интервала: при \(x=8\). \(f(8) = -\frac{1}{2}(8^2)+10(8) = -32+80=48\).
Намерете НМС на функцията \(f(x) = x^2 - 12x + 10\) в интервала \(x \in [0, 5]\).
Върхът е при \(x_V = \frac{-(-12)}{2 \cdot 1} = 6\). Тъй като \(6 \notin [0, 5]\), проверяваме краищата.
Параболата е обърната нагоре, а върхът е вдясно от интервала. Следователно функцията е намаляваща в \([0, 5]\).
НГС е при \(x=0 \Rightarrow f(0) = 10\).
НМС е при \(x=5 \Rightarrow f(5) = 25 - 60 + 10 = -25\).
Отговор: Най-малката стойност е -25.
Параболата е обърната нагоре, а върхът е вдясно от интервала. Следователно функцията е намаляваща в \([0, 5]\).
НГС е при \(x=0 \Rightarrow f(0) = 10\).
НМС е при \(x=5 \Rightarrow f(5) = 25 - 60 + 10 = -25\).
Отговор: Най-малката стойност е -25.
Ако сборът на две положителни числа \(u\) и \(v\) е константа (\(u+v=k\)), то тяхното произведение \(u \cdot v\) е най-голямо, когато двете числа са равни (\(u=v=k/2\)).
Този метод е бърз и удобен за задачи, в които се търси максимално лице на правоъгълник при зададен периметър или друга константна сума на страните.
Задача: Намерете НГС на лицето на правоъгълник, вписан в правоъгълен трапец, ако страните на правоъгълника са \(x\) и \(8-x\).
Решение: Търсим НГС на произведението \(S(x) = x(8-x)\). Сборът на множителите е \(x + (8-x) = 8\), което е константа. Следователно, произведението е най-голямо, когато множителите са равни: \(x = 8-x \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4\). НГС е \(S(4) = 4(8-4) = 16\).
Решение: Търсим НГС на произведението \(S(x) = x(8-x)\). Сборът на множителите е \(x + (8-x) = 8\), което е константа. Следователно, произведението е най-голямо, когато множителите са равни: \(x = 8-x \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4\). НГС е \(S(4) = 4(8-4) = 16\).
Сборът на две положителни числа е 24. Кои са числата, ако произведението им е възможно най-голямо?
Нека числата са \(u\) и \(v\). \(u+v=24\). Произведението \(u \cdot v\) е максимално, когато \(u=v\).
\(u=v=24/2=12\).
Отговор: Числата са 12 и 12.
\(u=v=24/2=12\).
Отговор: Числата са 12 и 12.
Задачи за упражнение
Лесна: От всички правоъгълници с периметър 40 м, намерете страните на този с най-голямо лице.
Нека страните са \(x\) и \(y\). \(2(x+y)=40 \Rightarrow x+y=20\).
Лицето е \(S=xy\). Тъй като сборът \(x+y=20\) е константа, лицето е максимално при \(x=y\).
\(x=y=20/2=10\).
Отговор: Правоъгълникът е квадрат със страна 10 м.
\(x=y=20/2=10\).
Отговор: Правоъгълникът е квадрат със страна 10 м.
Средна: В правоъгълен триъгълник с катети 6 см и 8 см е вписан правоъгълник така, че един от върховете му съвпада с правия ъгъл на триъгълника, а другите лежат на страните му. Намерете размерите на правоъгълника с най-голямо лице.
Нека правоъгълникът има страни \(x\) и \(y\), лежащи съответно на катетите с дължини 8 и 6. От подобни триъгълници получаваме зависимостта \(\frac{y}{6} = \frac{8-x}{8} \Rightarrow y = 6 - \frac{3}{4}x\).
Лицето е \(S(x) = x \cdot y = x(6 - \frac{3}{4}x) = -\frac{3}{4}x^2 + 6x\).
Търсим НГС за \(x \in (0, 8)\).
Върхът на параболата е при \(x_V = \frac{-6}{2(-\frac{3}{4})} = \frac{-6}{-3/2} = 4\).
Тъй като \(4 \in (0, 8)\), лицето е максимално при \(x=4\).
Тогава \(y = 6 - \frac{3}{4}(4) = 3\).
Отговор: Страните на правоъгълника са 4 см и 3 см.
Лицето е \(S(x) = x \cdot y = x(6 - \frac{3}{4}x) = -\frac{3}{4}x^2 + 6x\).
Търсим НГС за \(x \in (0, 8)\).
Върхът на параболата е при \(x_V = \frac{-6}{2(-\frac{3}{4})} = \frac{-6}{-3/2} = 4\).
Тъй като \(4 \in (0, 8)\), лицето е максимално при \(x=4\).
Тогава \(y = 6 - \frac{3}{4}(4) = 3\).
Отговор: Страните на правоъгълника са 4 см и 3 см.
Трудна: В правоъгълен трапец с основи 12 см и 3 см и височина 6 см е вписан правоъгълник. Едната страна на правоъгълника лежи на височината на трапеца, която излиза от върха при малката основа. Намерете най-голямото възможно лице на такъв правоъгълник.
Нека трапецът е ABCD (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)), \(AB=12, CD=3, AD=6\). Нека правоъгълникът е AMNQ, където Q е на AD, M на AB, N на BC.
Нека \(AQ=x\), \(AM=y\). Интервалът за \(x\) е \((0, 6]\).
Уравнението на правата BC (в координатна система с A(0,0)) е \(Y-0 = \frac{6-0}{3-12}(X-12) \Rightarrow Y = -\frac{2}{3}(X-12)\).
Точка N има координати \((y, x)\) и лежи на BC: \(x = -\frac{2}{3}(y-12) \Rightarrow y = 12-\frac{3}{2}x\).
Лицето е \(S(x) = xy = x(12-\frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 12x\).
Търсим НГС в \((0, 6]\). Върхът е при \(x_V = \frac{-12}{2(-\frac{3}{2})} = \frac{-12}{-3} = 4\).
Тъй като \(4 \in (0, 6]\), НГС се достига при \(x=4\).
\(S(4) = -\frac{3}{2}(4^2) + 12(4) = -24 + 48 = 24\).
Отговор: Най-голямото лице е 24 см².
Нека \(AQ=x\), \(AM=y\). Интервалът за \(x\) е \((0, 6]\).
Уравнението на правата BC (в координатна система с A(0,0)) е \(Y-0 = \frac{6-0}{3-12}(X-12) \Rightarrow Y = -\frac{2}{3}(X-12)\).
Точка N има координати \((y, x)\) и лежи на BC: \(x = -\frac{2}{3}(y-12) \Rightarrow y = 12-\frac{3}{2}x\).
Лицето е \(S(x) = xy = x(12-\frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 12x\).
Търсим НГС в \((0, 6]\). Върхът е при \(x_V = \frac{-12}{2(-\frac{3}{2})} = \frac{-12}{-3} = 4\).
Тъй като \(4 \in (0, 6]\), НГС се достига при \(x=4\).
\(S(4) = -\frac{3}{2}(4^2) + 12(4) = -24 + 48 = 24\).
Отговор: Най-голямото лице е 24 см².
