42. Основни Логаритмични Неравенства. Упражнение

а) \( \log _{2}^{2} x-5 \log _{2} x+4 \geq 0 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество

Дефиниционното множество (ДС) изисква аргументът на логаритъма да бъде строго положителен: \[ x > 0 \implies x \in (0; +\infty) \]

Стъпка 2: Полагане и решаване на квадратното неравенство

Полагаме \( t = \log_2 x \). Получаваме неравенството: \[ t^2 - 5t + 4 \ge 0 \] Намираме корените на съответното квадратно уравнение чрез разлагане: \[ (t - 1)(t - 4) \ge 0 \] Решението за \( t \) е: \[ t \le 1 \quad \lor \quad t \ge 4 \]

Стъпка 3: Връщане към първоначалната променлива

Връщаме се към \( x \), като вземаме предвид, че основата \( 2 > 1 \) запазва знака на неравенството: 1) \( \log_2 x \le 1 \iff \log_2 x \le \log_2 2 \iff x \le 2 \) 2) \( \log_2 x \ge 4 \iff \log_2 x \ge \log_2 16 \iff x \ge 16 \) Обединяваме получените интервали: \( x \in (-\infty; 2] \cup [16; +\infty) \).

Стъпка 4: Засичане с дефиниционното множество

\[ ((-\infty; 2] \cup [16; +\infty)) \cap (0; +\infty) = (0; 2] \cup [16; +\infty) \]

б) \( 6 \log _{\sqrt{3}}^{2} x-5 \log _{\sqrt{3}} x-1<0 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество

\[ \text{ДС: } x > 0 \implies x \in (0; +\infty) \]

Стъпка 2: Полагане и решаване на квадратното неравенство

Полагаме \( t = \log_{\sqrt{3}} x \): \[ 6t^2 - 5t - 1 < 0 \] Корените на квадратното уравнение \( 6t^2 - 5t - 1 = 0 \) са: \[ D = 25 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 49 = 7^2 \] \[ t_1 = \frac{5 - 7}{12} = -\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{12}_6} = -\frac{1}{6}, \quad t_2 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{\cancel{12}^1}{\cancel{12}_1} = 1 \] Следователно решението за \( t \) е системата: \[ \begin{cases} t > -\frac{1}{6} \\ t < 1 \end{cases} \]

Стъпка 3: Връщане към първоначалната променлива

Тъй като основата \( \sqrt{3} > 1 \), посоката на неравенствата се запазва: \[ \begin{cases} \log_{\sqrt{3}} x > -\frac{1}{6} \\ \log_{\sqrt{3}} x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > (\sqrt{3})^{-\frac{1}{6}} \\ x < \sqrt{3} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3^{-\frac{1}{12}} \\ x < \sqrt{3} \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{\sqrt[12]{3}} \\ x < \sqrt{3} \end{cases} \]

Стъпка 4: Засичане с дефиниционното множество

\[ \left(\frac{1}{\sqrt[12]{3}}; \sqrt{3}\right) \cap (0; +\infty) = \left(\frac{1}{\sqrt[12]{3}}; \sqrt{3}\right) \]

в) \( 4 \log _{0,1}^{4} x-3 \log _{0,1}^{2} x-1 \leq 0 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество

\[ \text{ДС: } x > 0 \implies x \in (0; +\infty) \]

Стъпка 2: Полагане и решаване на биквадратното неравенство

Полагаме \( u = \log_{0,1}^2 x \ge 0 \): \[ 4u^2 - 3u - 1 \le 0 \] Разлагаме квадратния тричлен: \[ (4u + 1)(u - 1) \le 0 \] Оттук \( -\frac{1}{4} \le u \le 1 \). Като вземем предвид, че \( u \ge 0 \), получаваме: \[ 0 \le \log_{0,1}^2 x \le 1 \] което се свежда до модулното неравенство: \[ |\log_{0,1} x| \le 1 \iff \begin{cases} \log_{0,1} x \le 1 \\ \log_{0,1} x \ge -1 \end{cases} \]

Стъпка 3: Връщане към първоначалната променлива

Основата е \( 0,1 < 1 \), затова посоката на неравенството се обръща: \[ \begin{cases} \log_{0,1} x \le \log_{0,1} 0,1 \\ \log_{0,1} x \ge \log_{0,1} 10 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0,1 \\ x \le 10 \end{cases} \implies x \in [0,1; 10] \]

Стъпка 4: Засичане с дефиниционното множество

\[ [0,1; 10] \cap (0; +\infty) = [0,1; 10] \]

г) \( \log _{\frac{1}{5}} x-5 \log _{x} \frac{1}{5}<4 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество

Основата на втория логаритъм и аргументите трябва да отговарят на: \[ \text{ДС: } \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) \]

Стъпка 2: Смяна на основата и полагане

Използваме свойството за смяна на основата \( \log_x \frac{1}{5} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{5}} x} \): \[ \log_{\frac{1}{5}} x - \frac{5}{\log_{\frac{1}{5}} x} - 4 < 0 \] Полагаме \( t = \log_{\frac{1}{5}} x \): \[ t - \frac{5}{t} - 4 < 0 \iff \frac{t^2 - 4t - 5}{t} < 0 \iff \frac{(t + 1)(t - 5)}{t} < 0 \] Решаваме полученото дробно неравенство по метода на интервалите: \[ t \in (-\infty; -1) \cup (0; 5) \]

Стъпка 3: Връщане към първоначалната променлива

Разглеждаме двата случая за \( t \), имайки предвид, че основата \( \frac{1}{5} < 1 \) обръща знака: 1) \( \log_{\frac{1}{5}} x < -1 \iff \log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} 5 \iff x > 5 \) 2) \( \begin{cases} \log_{\frac{1}{5}} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{5}} x < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} \log_{\frac{1}{5}} x > \log_{\frac{1}{5}} 1 \\ \log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^5 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 1 \\ x > \frac{1}{3125} \end{cases} \iff x \in \left(\frac{1}{3125}; 1\right) \) Обединяваме получените интервали: \( x \in \left(\frac{1}{3125}; 1\right) \cup (5; +\infty) \).

Стъпка 4: Засичане с дефиниционното множество

\[ \left(\left(\frac{1}{3125}; 1\right) \cup (5; +\infty)\right) \cap ((0; 1) \cup (1; +\infty)) = \left(\frac{1}{3125}; 1\right) \cup (5; +\infty) \]

а)

\( \text{ДС: } x > 0 \). Полагаме \( t = \log_2 x \): \( t^2 - 5t + 4 \ge 0 \iff (t-1)(t-4) \ge 0 \implies t \le 1 \lor t \ge 4 \) \( \log_2 x \le 1 \implies x \le 2 \); \( \log_2 x \ge 4 \implies x \ge 16 \) \( x \in (0; 2] \cup [16; +\infty) \)

б)

\( \text{ДС: } x > 0 \). Полагаме \( t = \log_{\sqrt{3}} x \): \( 6t^2 - 5t - 1 < 0 \iff (6t+1)(t-1) < 0 \implies -\frac{1}{6} < t < 1 \) \( -\frac{1}{6} < \log_{\sqrt{3}} x < 1 \implies \frac{1}{\sqrt[12]{3}} < x < \sqrt{3} \) \( x \in \left(\frac{1}{\sqrt[12]{3}}; \sqrt{3}\right) \)

в)

\( \text{ДС: } x > 0 \). Полагаме \( u = \log_{0,1}^2 x \ge 0 \): \( 4u^2 - 3u - 1 \le 0 \iff (4u+1)(u-1) \le 0 \implies 0 \le u \le 1 \) \( |\log_{0,1} x| \le 1 \implies -1 \le \log_{0,1} x \le 1 \implies 0,1 \le x \le 10 \) \( x \in [0,1; 10] \)

г)

\( \text{ДС: } x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) \). Полагаме \( t = \log_{\frac{1}{5}} x \): \( t - \frac{5}{t} - 4 < 0 \iff \frac{(t+1)(t-5)}{t} < 0 \implies t < -1 \lor 0 < t < 5 \) \( \log_{\frac{1}{5}} x < -1 \implies x > 5 \) \( 0 < \log_{\frac{1}{5}} x < 5 \implies \frac{1}{3125} < x < 1 \) \( x \in \left(\frac{1}{3125}; 1\right) \cup (5; +\infty) \)