Най-важното от урока
1. Дефиниционно множество (Д.С.): Винаги започвай с намиране на Д.С. – аргументът на всеки логаритъм трябва да е строго положителен. Пример: за \( \log_a(x-5) \), Д.С. е \( x-5 > 0 \Rightarrow x > 5 \).
2. Основа \(a > 1\): Ако основата е по-голяма от 1, запазваш знака на неравенството. Пример: \( \log_3(x) > \log_3(4) \Rightarrow x > 4 \).
3. Основа \(0 < a < 1\): Ако основата е между 0 и 1, обръщаш знака на неравенството. Пример: \( \log_{0.5}(x) > \log_{0.5}(4) \Rightarrow x < 4 \).
4. Крайно решение: Крайният отговор е сечението на интервалите от Д.С. и решението на неравенството.
2. Основа \(a > 1\): Ако основата е по-голяма от 1, запазваш знака на неравенството. Пример: \( \log_3(x) > \log_3(4) \Rightarrow x > 4 \).
3. Основа \(0 < a < 1\): Ако основата е между 0 и 1, обръщаш знака на неравенството. Пример: \( \log_{0.5}(x) > \log_{0.5}(4) \Rightarrow x < 4 \).
4. Крайно решение: Крайният отговор е сечението на интервалите от Д.С. и решението на неравенството.
Когато основата на логаритъма е по-голяма от 1 (\(a > 1\)), логаритмичната функция е растяща. При преминаване от логаритмично към обикновено неравенство, знакът на неравенството се запазва.
Неравенството \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) при \(a>1\) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases}
f(x) > 0 \\
g(x) > 0 \\
f(x) > g(x)
\end{cases} \]
Често едно от условията за дефиниционно множество (Д.С.) се съдържа в друго. Например, ако решим \(f(x) > g(x)\) и \(g(x) > 0\), то автоматично следва, че \(f(x) > 0\).
Да решим \( \log_3 (x^2-4x+1) > 0 \).
Преобразуваме: \( \log_3 (x^2-4x+1) > \log_3 1 \). Основата \(3>1\), затова запазваме знака.
Неравенството е еквивалентно на \( x^2-4x+1 > 1 \), като това условие е по-силно от Д.С. (\(x^2-4x+1 > 0\)).
\( x^2-4x > 0 \Rightarrow x(x-4) > 0 \).
Решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) \).
Преобразуваме: \( \log_3 (x^2-4x+1) > \log_3 1 \). Основата \(3>1\), затова запазваме знака.
Неравенството е еквивалентно на \( x^2-4x+1 > 1 \), като това условие е по-силно от Д.С. (\(x^2-4x+1 > 0\)).
\( x^2-4x > 0 \Rightarrow x(x-4) > 0 \).
Решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) \).
Решете неравенството \( \log_5 (x-3) > 1 \).
Д.С.: \(x-3 > 0 \Rightarrow x > 3\).
Неравенството е \( \log_5 (x-3) > \log_5 5 \).
Основата \(5 > 1\), следователно \( x-3 > 5 \Rightarrow x > 8 \).
Сечението на \(x>3\) и \(x>8\) е \(x>8\).
Отговор: \( x \in (8; +\infty) \).
Неравенството е \( \log_5 (x-3) > \log_5 5 \).
Основата \(5 > 1\), следователно \( x-3 > 5 \Rightarrow x > 8 \).
Сечението на \(x>3\) и \(x>8\) е \(x>8\).
Отговор: \( x \in (8; +\infty) \).
Когато основата на логаритъма е между 0 и 1 (\(0 < a < 1\)), логаритмичната функция е намаляваща. При преминаване от логаритмично към обикновено неравенство, знакът на неравенството се обръща.
Неравенството \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) при \(0 < a < 1\) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases}
f(x) > 0 \\
g(x) > 0 \\
f(x) < g(x)
\end{cases} \]
Да решим \( \log_{\frac{1}{6}} (x^2-8x+6) < -1 \).
Преобразуваме: \( \log_{\frac{1}{6}} (x^2-8x+6) < \log_{\frac{1}{6}} (\frac{1}{6})^{-1} \Rightarrow \log_{\frac{1}{6}} (x^2-8x+6) < \log_{\frac{1}{6}} 6 \).
Основата \( \frac{1}{6} < 1 \), затова обръщаме знака.
Неравенството е еквивалентно на \( x^2-8x+6 > 6 \).
\( x^2-8x > 0 \Rightarrow x(x-8) > 0 \).
Решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty) \).
Преобразуваме: \( \log_{\frac{1}{6}} (x^2-8x+6) < \log_{\frac{1}{6}} (\frac{1}{6})^{-1} \Rightarrow \log_{\frac{1}{6}} (x^2-8x+6) < \log_{\frac{1}{6}} 6 \).
Основата \( \frac{1}{6} < 1 \), затова обръщаме знака.
Неравенството е еквивалентно на \( x^2-8x+6 > 6 \).
\( x^2-8x > 0 \Rightarrow x(x-8) > 0 \).
Решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty) \).
Решете неравенството \( \log_{0.1} (x+2) > -1 \).
Д.С.: \(x+2 > 0 \Rightarrow x > -2\).
Неравенството е \( \log_{0.1} (x+2) > \log_{0.1} (0.1)^{-1} \Rightarrow \log_{0.1} (x+2) > \log_{0.1} 10 \).
Основата \(0.1 < 1\), следователно обръщаме знака: \( x+2 < 10 \Rightarrow x < 8 \).
Сечението на \(x > -2\) и \(x < 8\) е \(-2 < x < 8\).
Отговор: \( x \in (-2; 8) \).
Неравенството е \( \log_{0.1} (x+2) > \log_{0.1} (0.1)^{-1} \Rightarrow \log_{0.1} (x+2) > \log_{0.1} 10 \).
Основата \(0.1 < 1\), следователно обръщаме знака: \( x+2 < 10 \Rightarrow x < 8 \).
Сечението на \(x > -2\) и \(x < 8\) е \(-2 < x < 8\).
Отговор: \( x \in (-2; 8) \).
Ако в неравенството един и същ логаритмичен израз участва няколко пъти, можем да го заместим с нова променлива (полагане), да решим полученото по-просто неравенство и след това да се върнем към първоначалната променлива.
Да решим \( \log_{\frac{1}{2}} x + 2 \log_x \frac{1}{2} + 3 \ge 0 \).
Д.С.: \(x > 0, x \ne 1\).
Преобразуваме \( \log_x \frac{1}{2} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}} x} \). Полагаме \( u = \log_{\frac{1}{2}} x \).
Получаваме \( u + \frac{2}{u} + 3 \ge 0 \Rightarrow \frac{u^2+3u+2}{u} \ge 0 \Rightarrow \frac{(u+1)(u+2)}{u} \ge 0 \).
Решението за \(u\) е \( u \in [-2; -1] \cup (0; +\infty) \).
Връщаме се към \(x\):
1) \( -2 \le \log_{\frac{1}{2}} x \le -1 \Rightarrow 2 \le x \le 4 \).
2) \( \log_{\frac{1}{2}} x > 0 \Rightarrow x < 1 \).
Като се съобразим с Д.С., крайният отговор е \( x \in (0; 1) \cup [2; 4] \).
Д.С.: \(x > 0, x \ne 1\).
Преобразуваме \( \log_x \frac{1}{2} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}} x} \). Полагаме \( u = \log_{\frac{1}{2}} x \).
Получаваме \( u + \frac{2}{u} + 3 \ge 0 \Rightarrow \frac{u^2+3u+2}{u} \ge 0 \Rightarrow \frac{(u+1)(u+2)}{u} \ge 0 \).
Решението за \(u\) е \( u \in [-2; -1] \cup (0; +\infty) \).
Връщаме се към \(x\):
1) \( -2 \le \log_{\frac{1}{2}} x \le -1 \Rightarrow 2 \le x \le 4 \).
2) \( \log_{\frac{1}{2}} x > 0 \Rightarrow x < 1 \).
Като се съобразим с Д.С., крайният отговор е \( x \in (0; 1) \cup [2; 4] \).
Решете неравенството \( (\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 > 0 \).
Д.С.: \(x > 0\). Полагаме \(u = \log_3 x\).
\( u^2 - u - 2 > 0 \). Корените са \(u_1 = -1, u_2 = 2\).
Решението е \( u \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \).
Връщаме се към \(x\):
1) \( \log_3 x < -1 \Rightarrow \log_3 x < \log_3 3^{-1} \Rightarrow x < \frac{1}{3} \).
2) \( \log_3 x > 2 \Rightarrow \log_3 x > \log_3 3^2 \Rightarrow x > 9 \).
Като отчетем Д.С. (\(x>0\)), получаваме \( x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (9; +\infty) \).
\( u^2 - u - 2 > 0 \). Корените са \(u_1 = -1, u_2 = 2\).
Решението е \( u \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \).
Връщаме се към \(x\):
1) \( \log_3 x < -1 \Rightarrow \log_3 x < \log_3 3^{-1} \Rightarrow x < \frac{1}{3} \).
2) \( \log_3 x > 2 \Rightarrow \log_3 x > \log_3 3^2 \Rightarrow x > 9 \).
Като отчетем Д.С. (\(x>0\)), получаваме \( x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (9; +\infty) \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \( \log_2 (3x-1) < 3 \).
Д.С.: \(3x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}\).
\( \log_2 (3x-1) < \log_2 2^3 \Rightarrow \log_2 (3x-1) < \log_2 8 \).
Основата \(2 > 1\), запазваме знака: \( 3x-1 < 8 \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3 \).
Сечението на \(x > \frac{1}{3}\) и \(x < 3\) е крайният отговор.
Отговор: \( x \in (\frac{1}{3}; 3) \).
\( \log_2 (3x-1) < \log_2 2^3 \Rightarrow \log_2 (3x-1) < \log_2 8 \).
Основата \(2 > 1\), запазваме знака: \( 3x-1 < 8 \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3 \).
Сечението на \(x > \frac{1}{3}\) и \(x < 3\) е крайният отговор.
Отговор: \( x \in (\frac{1}{3}; 3) \).
Средна: Решете неравенството \( \log_{\frac{1}{7}} (2x^2+9x+3) < \log_{\frac{1}{7}} (x+3) \).
Системата е:
\[ \begin{cases}
x+3 > 0 \quad (\text{по-силното Д.С. условие}) \\
2x^2+9x+3 > x+3 \quad (\text{обърнат знак, защото основата } \frac{1}{7} < 1)
\end{cases} \]
1) \( x+3 > 0 \Rightarrow x > -3 \).
2) \( 2x^2+8x > 0 \Rightarrow 2x(x+4) > 0 \). Решението е \( x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \).
Търсим сечението на \( x > -3 \) и \( x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \).
Отговор: \( x \in (0; +\infty) \).
2) \( 2x^2+8x > 0 \Rightarrow 2x(x+4) > 0 \). Решението е \( x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \).
Търсим сечението на \( x > -3 \) и \( x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \).
Трудна: Решете неравенството \( \log_2 \log_2 (x^2+5x+2) > 0 \).
Външният логаритъм има основа \(2>1\). Преобразуваме:
\( \log_2 \log_2 (x^2+5x+2) > \log_2 1 \).
Това е еквивалентно на \( \log_2 (x^2+5x+2) > 1 \).
(Това условие автоматично гарантира, че аргументът на външния логаритъм, т.е. \( \log_2 (x^2+5x+2) \), е положителен).
Отново преобразуваме: \( \log_2 (x^2+5x+2) > \log_2 2 \).
Основата е \(2>1\), така че \( x^2+5x+2 > 2 \).
\( x^2+5x > 0 \Rightarrow x(x+5) > 0 \).
Отговор: \( x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty) \).
\( \log_2 \log_2 (x^2+5x+2) > \log_2 1 \).
Това е еквивалентно на \( \log_2 (x^2+5x+2) > 1 \).
(Това условие автоматично гарантира, че аргументът на външния логаритъм, т.е. \( \log_2 (x^2+5x+2) \), е положителен).
Отново преобразуваме: \( \log_2 (x^2+5x+2) > \log_2 2 \).
Основата е \(2>1\), така че \( x^2+5x+2 > 2 \).
\( x^2+5x > 0 \Rightarrow x(x+5) > 0 \).
Отговор: \( x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty) \).
