Най-важното от урока
Ключови изводи:
- При решаване на неравенство използваме същите правила като при уравненията (прехвърляне, разкриване на скоби).
- Най-важното правило: Когато умножаваме или делим с отрицателно число, обръщаме знака на неравенството. Пример: \(-5x > 20 \Rightarrow x < -4\).
- При неравенства с дроби, първо умножаваме всичко по НОК на знаменателите.
- Ако получим вярно твърдение (напр. \(3>1\)), всяко число е решение. Ако получим невярно (напр. \(5<-2\)), няма решение.
Можем да събираме, изваждаме, умножаваме и делим двете страни на неравенството с едно и също число.
Прибавяне/Изваждане: Знакът на неравенството се запазва.
Ако \(a > b\), то \(a+c > b+c\) и \(a-c > b-c\).
Ако \(a > b\), то \(a+c > b+c\) и \(a-c > b-c\).
Умножение/Деление с положително число: Знакът на неравенството се запазва.
Ако \(a > b\) и \(c>0\), то \(ac > bc\) и \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\).
Ако \(a > b\) и \(c>0\), то \(ac > bc\) и \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\).
При умножение или деление с отрицателно число, знакът на неравенството се обръща.
Да решим неравенството \(-4x > -6\).
Делим двете страни на \(-4\) и обръщаме знака: \[ \frac{-4x}{-4} < \frac{-6}{-4} \] \[ x < \frac{3}{2} \]
Делим двете страни на \(-4\) и обръщаме знака: \[ \frac{-4x}{-4} < \frac{-6}{-4} \] \[ x < \frac{3}{2} \]
Как ще се промени знакът на неравенството \(10 \ge -2x\), ако го решим спрямо \(x\)?
Ще се обърне, защото делим на отрицателното число \(-2\).
\( \frac{10}{-2} \le \frac{-2x}{-2} \Rightarrow -5 \le x \) или \(x \ge -5\).
\( \frac{10}{-2} \le \frac{-2x}{-2} \Rightarrow -5 \le x \) или \(x \ge -5\).
Целта е да изолираме неизвестното \(x\) от едната страна на неравенството чрез еквивалентни преобразувания (прехвърляне на членове с обратен знак, разкриване на скоби, привеждане под общ знаменател).
Да решим неравенството \(9 - 4x > 3\).
1. Прехвърляме \(9\) с обратен знак: \( -4x > 3 - 9 \)
2. Изчисляваме: \( -4x > -6 \)
3. Делим на \(-4\) и обръщаме знака: \( x < \frac{-6}{-4} \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
Решението е \(x \in (-\infty, \frac{3}{2})\).
1. Прехвърляме \(9\) с обратен знак: \( -4x > 3 - 9 \)
2. Изчисляваме: \( -4x > -6 \)
3. Делим на \(-4\) и обръщаме знака: \( x < \frac{-6}{-4} \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
Решението е \(x \in (-\infty, \frac{3}{2})\).
Решете неравенството \(2x + 5 \le 11\).
\(2x \le 11 - 5 \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x \le 3\).
Понякога при решаване на неравенство, неизвестното \(x\) се унищожава.
Ако се получи вярно числово неравенство (напр. \(0 > -2\)), то всяко число е решение.
Пример: \(3(x + 2) > 3x + 4 \Rightarrow 3x + 6 > 3x + 4 \Rightarrow 6 > 4\). Това е вярно, затова всяко \(x\) е решение.
Пример: \(3(x + 2) > 3x + 4 \Rightarrow 3x + 6 > 3x + 4 \Rightarrow 6 > 4\). Това е вярно, затова всяко \(x\) е решение.
Ако се получи невярно числово неравенство (напр. \(0 < -8\)), то неравенството няма решение.
Пример: \(2(x + 2) < 2x - 4 \Rightarrow 2x + 4 < 2x - 4 \Rightarrow 4 < -4\). Това е невярно, затова неравенството няма решение.
Пример: \(2(x + 2) < 2x - 4 \Rightarrow 2x + 4 < 2x - 4 \Rightarrow 4 < -4\). Това е невярно, затова неравенството няма решение.
Намерете решенията на неравенството \(7 - 2x \ge 1 - 2x\).
\(7 - 2x \ge 1 - 2x \Rightarrow 7 \ge 1\). Получи се вярно числово неравенство, следователно всяко число е решение.
За да решим неравенство с дроби, първо се освобождаваме от знаменателите, като умножим двете страни с най-малкото общо кратно (НОК) на знаменателите.
Да решим \(\frac{x+1}{2} - 2x \le \frac{1}{3} + x\).
1. НОК на знаменателите 2 и 3 е 6. Умножаваме всичко по 6: \[ 6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot 2x \le 6 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot x \] \[ 3(x+1) - 12x \le 2 + 6x \]
2. Решаваме полученото неравенство: \[ 3x + 3 - 12x \le 2 + 6x \] \[ -9x + 3 \le 2 + 6x \] \[ 1 \le 15x \Rightarrow \frac{1}{15} \le x \] Решението е \(x \in [\frac{1}{15}, +\infty)\).
1. НОК на знаменателите 2 и 3 е 6. Умножаваме всичко по 6: \[ 6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot 2x \le 6 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot x \] \[ 3(x+1) - 12x \le 2 + 6x \]
2. Решаваме полученото неравенство: \[ 3x + 3 - 12x \le 2 + 6x \] \[ -9x + 3 \le 2 + 6x \] \[ 1 \le 15x \Rightarrow \frac{1}{15} \le x \] Решението е \(x \in [\frac{1}{15}, +\infty)\).
Кое е първото действие при решаване на неравенството \(\frac{x}{5} - \frac{x}{2} < 3\)?
НОК(5, 2) = 10. Умножаваме двете страни на неравенството с 10, за да се освободим от дробите.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \(5x - 8 < 7\).
\(5x < 7+8 \Rightarrow 5x < 15 \Rightarrow x < 3\). Решението е \(x \in (-\infty, 3)\).
Средна: Намерете решенията на неравенството \( 3 - \frac{x+1}{2} \le x \).
Умножаваме по 2, за да премахнем знаменателя:
\[ 2 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{x+1}{2} \le 2 \cdot x \]
\[ 6 - (x+1) \le 2x \]
\[ 6 - x - 1 \le 2x \]
\[ 5 - x \le 2x \]
\[ 5 \le 3x \]
\[ x \ge \frac{5}{3} \]
Решението е \(x \in [\frac{5}{3}, +\infty)\).
Трудна: В 11:30 ч. туристи тръгват с лодка по река. Скоростта на лодката е 18 km/h, а на течението 2 km/h. На какво разстояние (с точност до 1 km) най-много могат да се отдалечат, за да се върнат до 15:00 ч.?
Нека разстоянието е \(S\).
Време за разходка: от 11:30 до 15:00 е 3.5 часа.
Скорост по течението: \(18 + 2 = 20\) km/h.
Скорост срещу течението: \(18 - 2 = 16\) km/h.
Неравенството за общото време е: \[ \frac{S}{20} + \frac{S}{16} \le 3.5 \] Умножаваме по НОК(20, 16) = 80: \[ 4S + 5S \le 80 \cdot 3.5 \] \[ 9S \le 280 \] \[ S \le \frac{280}{9} \approx 31.11 \text{ km} \] Отговор: Най-много на 31 km.
Време за разходка: от 11:30 до 15:00 е 3.5 часа.
Скорост по течението: \(18 + 2 = 20\) km/h.
Скорост срещу течението: \(18 - 2 = 16\) km/h.
Неравенството за общото време е: \[ \frac{S}{20} + \frac{S}{16} \le 3.5 \] Умножаваме по НОК(20, 16) = 80: \[ 4S + 5S \le 80 \cdot 3.5 \] \[ 9S \le 280 \] \[ S \le \frac{280}{9} \approx 31.11 \text{ km} \] Отговор: Най-много на 31 km.
