Най-важното от урока
Рационални числа (\(\mathbb{Q}\)): Могат да се запишат като дроб \( \frac{p}{q} \). Представят се като крайна или безкрайна периодична десетична дроб. (Примери: 7, -3.5, \( \frac{2}{3} \)).
Ирационални числа (\(\mathbb{I}\)): Не могат да се запишат като дроб. Представят се като безкрайна непериодична десетична дроб. (Примери: \(\pi\), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\)).
Реални числа (\(\mathbb{R}\)): Всички рационални и ирационални числа взети заедно. Всяка точка на числовата ос съответства на реално число.
Ирационални числа (\(\mathbb{I}\)): Не могат да се запишат като дроб. Представят се като безкрайна непериодична десетична дроб. (Примери: \(\pi\), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\)).
Реални числа (\(\mathbb{R}\)): Всички рационални и ирационални числа взети заедно. Всяка точка на числовата ос съответства на реално число.
Число, което може да се представи като обикновена дроб \( \frac{p}{q} \), където \(p\) е цяло число, а \(q\) е естествено число (\(q \neq 0\)). Множеството на рационалните числа включва всички цели и дробни числа (положителни и отрицателни) и нулата.
Като десетична дроб, всяко рационално число е или крайна (напр. 0.5), или безкрайна периодична (напр. 0.333...).
- \( 5 = \frac{5}{1} \)
- \( -2.5 = -\frac{5}{2} \)
- \( 0.(3) = \frac{1}{3} \)
Рационално число ли е \( -4 \frac{1}{2} \)? Представете го като дроб \( \frac{p}{q} \).
Да, рационално е.
\[ -4 \frac{1}{2} = -\frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{9}{2} \]
Число, което не може да се представи като дроб от две цели числа \( \frac{p}{q} \).
Като десетична дроб, всяко ирационално число е безкрайна непериодична - цифрите след десетичната запетая продължават до безкрайност, без да се повтарят в определена последователност.
Най-известните ирационални числа са:
- \(\pi \approx 3.14159265...\)
- \(\sqrt{2} \approx 1.41421356...\) (числото, чийто квадрат е 2)
- Дробта \(0.1234567891011...\) също е ирационално число.
Числото \(0.757575...\) (или \(0.(75)\)) ирационално ли е? Обосновете се.
Не, числото е рационално. То е безкрайна периодична десетична дроб и може да се представи като \( \frac{75}{99} \).
Всяко ирационално число, също като рационалните, съответства на точно една точка от числовата ос. Можем да намерим тази точка чрез геометрични построения.
За да намерим точката, съответстваща на \(\sqrt{2}\), построяваме квадрат със страна 1. Дължината на неговия диагонал е точно \(\sqrt{2}\). Като пренесем тази дължина с пергел върху числовата ос, започвайки от 0, намираме точната позиция на \(\sqrt{2}\).
Как може да се построи отсечка с дължина \(\sqrt{5}\) с помощта на правоъгълен триъгълник?
Според Питагоровата теорема (\(a^2+b^2=c^2\)), ако построим правоъгълен триъгълник с катети с дължини 1 и 2, неговата хипотенуза ще бъде с дължина \(c = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\).
Множеството на реалните числа (\(\mathbb{R}\)) се състои от обединението на множествата на рационалните (\(\mathbb{Q}\)) и ирационалните (\(\mathbb{I}\)) числа.
Съществува следната йерархия между числовите множества:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
(Естествените са подмножество на целите, които са подмножество на рационалните, които са подмножество на реалните)
Към кои числови множества (\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}\)) принадлежи числото \(\sqrt{16}\)?
Тъй като \(\sqrt{16} = 4\), числото принадлежи към \(\mathbb{N}\) (естествени), \(\mathbb{Z}\) (цели), \(\mathbb{Q}\) (рационални) и \(\mathbb{R}\) (реални). То не е ирационално.
Задачи за упражнение
Лесна: Класифицирайте всяко от числата като рационално или ирационално: \( \frac{7}{3} \), -12, \( \sqrt{7} \).
- \( \frac{7}{3} \) е представено като дроб, следователно е рационално.
- -12 може да се представи като \( \frac{-12}{1} \), следователно е рационално.
- \( \sqrt{7} \) не може да се представи като дроб от цели числа (квадратният корен на неточно квадрат число), следователно е ирационално.
Средна: Вярно ли е, че сборът на две ирационални числа е винаги ирационално число? Дайте пример.
Не, не е вярно. Например, \(\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{2}\) са ирационални числа, но техният сбор е \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \), което е рационално число.
Трудна: Дадено е числото \( A = 5.12112111211112... \), в което броят на единиците между две двойки се увеличава с едно всеки път. Рационално или ирационално е числото А? Обосновете се.
Числото е ирационално. Въпреки че има закономерност в изписването на цифрите, тя не е периодична. Няма повтаряща се група от цифри, тъй като броят на единиците постоянно се променя. Това го прави безкрайна непериодична дроб.
