Най-важното от урока
Ъглополовящи: Трите ъглополовящи в триъгълник се пресичат в една точка – център на вписаната окръжност (O).
Вписана окръжност: Тя е вътрешна за триъгълника и се допира до трите му страни. Центърът ѝ (O) е на равни разстояния (\(r\)) от страните. Този радиус се нарича инрадиус.
Формула за лице: Лицето на триъгълник може да се намери чрез полупериметъра му \(p\) и радиуса на вписаната окръжност \(r\): \(S = p \cdot r\).
Специален случай (равностранен \(\triangle\)): Центърът на вписаната окръжност съвпада с центъра на описаната и медицентъра. Връзката между радиусите е \(R=2r\).
Вписана окръжност: Тя е вътрешна за триъгълника и се допира до трите му страни. Центърът ѝ (O) е на равни разстояния (\(r\)) от страните. Този радиус се нарича инрадиус.
Формула за лице: Лицето на триъгълник може да се намери чрез полупериметъра му \(p\) и радиуса на вписаната окръжност \(r\): \(S = p \cdot r\).
Специален случай (равностранен \(\triangle\)): Центърът на вписаната окръжност съвпада с центъра на описаната и медицентъра. Връзката между радиусите е \(R=2r\).
Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл е на равни разстояния от раменете на този ъгъл.
Ако точка \(M\) е от ъглополовящата на \(\angle PQR\) и разстоянието от \(M\) до лъча \(QP\) е 5 cm, то разстоянието от \(M\) до лъча \(QR\) също е 5 cm.
Точка \(D\) лежи на ъглополовящата на \(\angle MON\). Разстоянието от \(D\) до лъча \(OM\) е 8 cm. Какво е разстоянието от \(D\) до лъча \(ON\)?
Отговор: 8 cm, поради свойството на точките от ъглополовящата да са на равни разстояния от раменете на ъгъла.
Трите ъглополовящи на всеки триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е на равни разстояния от трите страни на триъгълника.
Пресечната точка на ъглополовящите се нарича център на вписаната в триъгълника окръжност и се означава с O (или J, I).
В \(\triangle ABC\), ъглополовящите \(l_a\), \(l_b\) и \(l_c\) се пресичат в точка O. Ако разстоянието от O до страната AB е \(r = 3\) cm, то разстоянията от O до страните BC и AC също са равни на 3 cm.
Ъглополовящите на \(\angle A\) и \(\angle B\) в \(\triangle ABC\) се пресичат в точка J. Ако разстоянието от J до страната AC е 4 cm, колко е разстоянието от J до страната BC?
Точка J лежи на ъглополовящата на \(\angle A\), следователно е на равни разстояния от AB и AC (4 cm). Точка J лежи и на ъглополовящата на \(\angle B\), следователно е на равни разстояния от AB и BC. От това следва, че разстоянието от J до BC също е 4 cm.
Окръжност, която се допира до трите страни на един триъгълник, се нарича вписана окръжност. Триъгълникът се нарича описан около окръжността.
Всеки триъгълник има точно една вписана окръжност. Нейният център е пресечната точка на ъглополовящите, а радиусът ѝ (\(r\)) е разстоянието от този център до коя да е от страните.
В \(\triangle ABC\) е вписана окръжност \(k(O, r)\). Това означава, че страните AB, BC и CA са допирателни към окръжността в точките, в които перпендикулярите от O към страните ги пресичат.
В \(\triangle XYZ\) е вписана окръжност с център O. Разстоянието от O до страната XY e 5 cm. Какъв е радиусът на вписаната окръжност?
Радиусът на вписаната окръжност е равен на разстоянието от центъра ѝ до страните на триъгълника. Следователно, \(r = 5\) cm.
\[ S = p \cdot r \]
\(S\) е лицето на триъгълника, \(r\) е радиусът на вписаната окръжност, а \(p\) е полупериметърът на триъгълника: \(p = \frac{a+b+c}{2}\).
Даден е триъгълник със страни 13 cm, 14 cm, 15 cm. Полупериметърът му е \(p = \frac{13+14+15}{2} = 21\) cm. Ако радиусът на вписаната му окръжност е \(r=4\) cm, то лицето му е \(S = p \cdot r = 21 \cdot 4 = 84\) cm².
Намерете лицето на триъгълник със страни 5 cm, 12 cm, 13 cm, ако радиусът на вписаната му окръжност е 2 cm.
Първо намираме полупериметъра: \(p = \frac{5+12+13}{2} = \frac{30}{2} = 15\) cm.
Прилагаме формулата: \(S = p \cdot r = 15 \cdot 2 = 30\) cm².
Прилагаме формулата: \(S = p \cdot r = 15 \cdot 2 = 30\) cm².
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\), \(\angle CAB = 70^\circ\) и \(\angle ABC = 50^\circ\). Ъглополовящите на тези два ъгъла се пресичат в точка O. Намерете \(\angle AOB\).
Тъй като O лежи на ъглополовящите, то в \(\triangle AOB\) имаме:
\(\angle OAB = \frac{1}{2}\angle CAB = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\)
\(\angle OBA = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\)
От сбора на ъглите в \(\triangle AOB\):
\(\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
\(\angle OAB = \frac{1}{2}\angle CAB = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\)
\(\angle OBA = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\)
От сбора на ъглите в \(\triangle AOB\):
\(\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Средна: Периметърът на триъгълник е 36 cm, а лицето му е 54 cm². Намерете радиуса на вписаната в него окръжност.
Дадено е: периметър \(P = a+b+c = 36\) cm и лице \(S = 54\) cm².
1. Намираме полупериметъра: \(p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18\) cm.
2. Използваме формулата \(S = p \cdot r\) и намираме \(r\):
\(54 = 18 \cdot r\)
\(r = \frac{54}{18} = 3\) cm.
Отговор: Радиусът на вписаната окръжност е 3 cm.
1. Намираме полупериметъра: \(p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18\) cm.
2. Използваме формулата \(S = p \cdot r\) и намираме \(r\):
\(54 = 18 \cdot r\)
\(r = \frac{54}{18} = 3\) cm.
Отговор: Радиусът на вписаната окръжност е 3 cm.
Трудна: В равнобедрен триъгълник с основа 12 cm и бедро 10 cm е вписана окръжност. Намерете радиуса на тази окръжност.
1. Намираме лицето на триъгълника (S).
Спускаме височината \(h_c\) към основата \(c=12\) cm. В равнобедрен триъгълник тя е и медиана, т.е. разделя основата на две части по 6 cm.
От Питагорова теорема за получения правоъгълен триъгълник: \(h_c^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow h_c^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h_c = 8\) cm.
Лицето е \(S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48\) cm².
2. Намираме полупериметъра (p).
\(p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+10+12}{2} = \frac{32}{2} = 16\) cm.
3. Намираме радиуса (r).
От формулата \(S=p \cdot r\), имаме \(r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3\) cm.
Отговор: Радиусът на вписаната окръжност е 3 cm.
Спускаме височината \(h_c\) към основата \(c=12\) cm. В равнобедрен триъгълник тя е и медиана, т.е. разделя основата на две части по 6 cm.
От Питагорова теорема за получения правоъгълен триъгълник: \(h_c^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow h_c^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h_c = 8\) cm.
Лицето е \(S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48\) cm².
2. Намираме полупериметъра (p).
\(p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+10+12}{2} = \frac{32}{2} = 16\) cm.
3. Намираме радиуса (r).
От формулата \(S=p \cdot r\), имаме \(r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3\) cm.
Отговор: Радиусът на вписаната окръжност е 3 cm.
