Най-важното от урока
Градусна мярка: Мярката на дъга е равна на мярката на централния ѝ ъгъл (\(\widehat{AB} = \angle AOB\)). Цялата окръжност е \(360^\circ\).
Полуокръжност: Дъга, отсечена от диаметър, е с мярка \(180^\circ\).
Основна теорема: В една окръжност, ако хордите са равни, то и съответните им дъги и централни ъгли са равни. Пример: Ако \(AB=CD\), то \(\widehat{AB}=\widehat{CD}\).
Полуокръжност: Дъга, отсечена от диаметър, е с мярка \(180^\circ\).
Основна теорема: В една окръжност, ако хордите са равни, то и съответните им дъги и централни ъгли са равни. Пример: Ако \(AB=CD\), то \(\widehat{AB}=\widehat{CD}\).
Всяка хорда разделя окръжността на две части, наречени дъги. Краищата на дъгите съвпадат с краищата на хордата.
По-малката от двете дъги с краища A и B се означава с \(\widehat{AB}\). За по-голямата или за по-ясно уточняване се използва трета точка, например \(\widehat{AMB}\).
Ако хордата е диаметър, тя разделя окръжността на две равни дъги, наречени полуокръжности.
На чертежа хордата \(AB\) разделя окръжността \(k\) на две дъги. Ако \(M\) е точка от по-малката дъга, а \(N\) от по-голямата, ги означаваме съответно \(\widehat{AMB}\) и \(\widehat{ANB}\).
Хордата \(CD\) е диаметър на окръжност. Какви са двете дъги, на които тя разделя окръжността?
Отговор: Двете дъги са равни и се наричат полуокружности.
Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх е центърът на окръжността, а раменете му пресичат окръжността.
Градусната мярка на една дъга е равна на градусната мярка на съответния ѝ централен ъгъл.
Цялата окръжност има мярка \(360^\circ\).
Всяка полуокружност има мярка \(180^\circ\).
Всяка полуокружност има мярка \(180^\circ\).
Ако централният ъгъл \(\angle AOB = 60^\circ\), то и мярката на дъгата \(\widehat{AB} = 60^\circ\). По-голямата дъга между точките A и B ще има мярка \(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\).
Централен ъгъл \(\angle MON\) е \(110^\circ\). Намерете градусната мярка на малката дъга \(\widehat{MN}\).
Отговор: По определение, мярката на дъгата е равна на мярката на централния ъгъл, следователно \(\widehat{MN} = 110^\circ\).
В една окръжност (или в еднакви окръжности) равните хорди, съответните им дъги и съответните им централни ъгли са свързани. Ако един от трите елемента е равен на съответния му, то и другите два са равни помежду си.
\[ AB = CD \iff \widehat{AB} = \widehat{CD} \iff \angle AOB = \angle COD \]
Ако в окръжност \(k\) знаем, че дъгата \(\widehat{MN} = 50^\circ\) и дъгата \(\widehat{PQ} = 50^\circ\), можем да твърдим, че и хордите \(MN\) и \(PQ\) са равни, както и централните ъгли \(\angle MON\) и \(\angle POQ\).
Две дъги са равни само ако имат еднаква градусна мярка И са части от една и съща или от еднакви окръжности (с равни радиуси).
В окръжност са дадени две равни хорди \(AB\) и \(CD\). Централният ъгъл, съответен на хордата \(AB\), е \(\angle AOB = 75^\circ\). Намерете градусната мярка на дъгата \(\widehat{CD}\).
Отговор: Тъй като хордите са равни (\(AB=CD\)), то и съответните им централни ъгли са равни (\(\angle AOB = \angle COD = 75^\circ\)). Оттук следва, че и съответните дъги са равни. \(\widehat{CD} = \angle COD = 75^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Полуокръжност е разделена на две дъги. Ако едната дъга е \(80^\circ\), колко градуса е другата?
Полуокръжността има мярка \(180^\circ\). Следователно, втората дъга е \(180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Отговор: \(100^\circ\).
Отговор: \(100^\circ\).
Средна: В окръжност \(k(O,R)\) хордата \(AB\) е равна на радиуса \(R\). Намерете мярката на централния ъгъл \(\angle AOB\) и на малката дъга \(\widehat{AB}\).
Разглеждаме \(\triangle AOB\). Страните му са \(OA=R\), \(OB=R\) и по условие \(AB=R\). Следователно \(\triangle AOB\) е равностранен. Всички ъгли в равностранен триъгълник са по \(60^\circ\), така че \(\angle AOB = 60^\circ\).
Градусната мярка на дъгата \(\widehat{AB}\) е равна на мярката на централния ъгъл \(\angle AOB\).
Отговор: \(\angle AOB = 60^\circ\) и \(\widehat{AB} = 60^\circ\).
Градусната мярка на дъгата \(\widehat{AB}\) е равна на мярката на централния ъгъл \(\angle AOB\).
Отговор: \(\angle AOB = 60^\circ\) и \(\widehat{AB} = 60^\circ\).
Трудна: Точките \(A\), \(B\), и \(C\) лежат на окръжност и я разделят на дъги, чиито мерки се отнасят както \(\widehat{AB} : \widehat{BC} : \widehat{CA} = 3 : 4 : 5\). Намерете градусните мерки на тези дъги.
Означаваме дъгите с \(\widehat{AB} = 3x\), \(\widehat{BC} = 4x\) и \(\widehat{CA} = 5x\).
Сборът от мерките на дъгите в една окръжност е \(360^\circ\).
\[ 3x + 4x + 5x = 360^\circ \] \[ 12x = 360^\circ \] \[ x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \] Намираме мерките на дъгите:
\(\widehat{AB} = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\)
\(\widehat{BC} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\)
\(\widehat{CA} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\)
Отговор: \(\widehat{AB} = 90^\circ\), \(\widehat{BC} = 120^\circ\), \(\widehat{CA} = 150^\circ\).
Сборът от мерките на дъгите в една окръжност е \(360^\circ\).
\[ 3x + 4x + 5x = 360^\circ \] \[ 12x = 360^\circ \] \[ x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \] Намираме мерките на дъгите:
\(\widehat{AB} = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\)
\(\widehat{BC} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\)
\(\widehat{CA} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\)
Отговор: \(\widehat{AB} = 90^\circ\), \(\widehat{BC} = 120^\circ\), \(\widehat{CA} = 150^\circ\).
